追求立体几何数学价值最大化

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1、追求立体几何数学价值最大化——“外接球问题中的补形法”的教学分析与设计四川省苍溪中学校谢双峻张奠宙先生认为“教师的任务是把知识的学术形态转化为教育形态”，教育形态的数学知识，其基本特征是教育性，即育人功能。在立体几何中，凝结着数学家的思维，是数学地认识事物的思想精华，是数学家智慧的结晶，蕴含了最丰富的创新教育素材，笔者认为转化学术形态为教育形态，不仅是要学生容易获得和理解知识，还应该高瞻远瞩，置数学知识于广阔的数学学科背景之中，深入挖掘数学知识蕴含的育人功能，追求数学价值最大化。实现数学知识教学价值

2、的最大化是一种理想，一种境界。具体地说，在引导学生经历数学知识的再发现再创造过程要着眼于以下四个层面使学生获得发展。一是知识获得层面：理解数学概念的反映的？？形式和数量关系内涵，即数学概念“是什么”，还要明了概念的数学价值，即数学概念“有什么用”。二是学科认识层面：深化对数学学科的认识（如数学研究的规范，数学语言的特点和形式化的要求等），为形成科学的数学观和数学学习观奠定基础。-10-三是思维发展层面：提高数学的提出、分析和解决问题的能力（包括直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、符号表示和演绎证

3、明等思维能力）。四是精神养成层面：培养理性精神，孕育创新思想。显然，上述四个层面的发展并非独立的和线性的发展，而是存在着一种相互支持的关系，因而，教学中的“背景引入”、“定义获得”和“初步应用”等环节应有机地统一起来，促进学生各个层面的和谐发展。下面以立体几何中的“外接球问题”为例，谈谈基于上述四个层面发展的教学分析和设计。1对“外接球问题”教学的基本认识现实世界中，具有对称性的物体和图形通常给人以美的愉悦，几何图形实质上是实现世界图形的抽象化与理想化即“数学化”。几何上的球体是实现世界高度对称性的

4、抽象反映，反映了数学的“拟经验性”特点。外界球问题的本质：对称性，“形”的特点和“数”的关系，前者表示为图像特征的描述，后者则在具体问题中隐藏着一定的数量关系。教学中，先引导学生对“形”的特征进行描述，老师用简练的语言加以点拨，再引导学生在“形”的基础上思考“数量关系”。受思-10-维水平、学习习惯和初中数学教学目标的影响，高一学生仍满足于通过直观操作获得结论，而对与内在的逻辑关系缺乏进一步思考的意识。事实上，数学是一门讲“道理”（即定义、公理、法则和逻辑）的学科，在“形”的特征上去联系“数量关系”

5、，这是理性精神的体现，直面学生的薄弱环节，引导学生对“数量关系”进行分析，并用数学语言表达自己的思考，不仅可以发展学生的逻辑思维能力，对学生形成讲逻辑的科学态度颇有效益，因此，在外接球问题上花费一定的教学问题是必要和值得的。2“外接球问题”的教学价值2.1感受数学知识的意义本节内容兼有陈述知识和策略性知识的特点，前者是对什么是外接球的理解，后者重在对称联系的体会，经由以下环节，学生将感受数学知识意义的多元性。一是引导学生在“形”的基础上联想对应“数量关系”。二是引导学生析取背后的“数”与“形”的联系

6、思想，对称中的联系观，“割补思想”解决极简单的问题。三是对称、联系观、“补形”可以迁移到代数中去，从而在思想上做到“数形一体”。2.2提升关于数学学科的认识水平有效的数学知识教学需要处理好两个基本问题：一是知识产生的源泉在哪里？二是知识的产生经历了怎样的思维过程？前者是一个数学认识论的问题，回答的是“数学知识来自何方”；后者是一个数学方法论的问题，回答的是“我们应该遵循怎样的规范进行数学知识的创造”-10-。围绕这两个基本问题展开的教学，为学生开启了一扇深化数学认识的大门，就第一个问题而言，教学中可

7、以通过类比初中的三角形、正方形及其它多边形外接圆，使学生从心理上认同数学研究的对象，并认识到三维立体空间和二维平面空间有惊人的相似性与千丝万缕的联系。温故而知新，新知识就在离我们不远处，就第二个问题，仍可注重图形特征，直观结论上三维与二维类比，并由直观特征走向数学语言的描述并从“数学关系”上探讨、刻画，使学生认识到数学研究是一条从感性走向理性，从粗糙走向？？的发展之路。事实上，几何虽然研究的是图形，但图形特征及结论却是用符号、集合语言及等式或不等式等“数量关系”语言来描述的，这恰恰说明了作为一门学科

8、的数学的特点，这就是用“数”刻画“形”，以此反映数学由表及里的学科追求。2.3发展数学思维能力历史上，几何学的产生和发展无不是丰富的思维活动直接推动的结果，初中对“外接圆”认识基础上的“外接球”教学时引导学生经历知识“再创造”的返璞归真的过程，这为发展学生的思维能力提供了契机，可以为学生发展以下思维能力。一是直观基础上的分析和概括能力。如初中的外接圆问题出发到高中外接球，学生将依序经历以下思维：（1）类比外接圆，从整体到局部注意几何体顶点均在球面上；（2）类比外接圆，