北航动力学习题5

《北航动力学习题5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、5-2滑轮组上悬挂有质量为10kg的重物和质量为8kg的重物，如图所示。忽略滑轮的质量，试求重物的加速度及绳的拉力。解：取整个系统为研究对象，不考虑摩擦，该系统具有理想约束。作用在系统上的主动力为重物的重力。假设重物的加速度的方向竖直向下，则重物的加速度竖直向上，两个重物惯性力为：(1)该系统有一个自由度，假设重物有一向下的虚位移，则重物的虚位移竖直向上。由动力学普遍方程有：M1gM2gFI2δx2δx1（2）根据运动学关系可知：（3）将(1)式和(3)式代入(2)式，可得对于任意有：FI1方向竖直向下。取重物为研究

2、对象，受力如图所示，由牛顿第二定律有：M2gTa2解得绳子的拉力。本题也可以用动能定理，动静法，拉格朗日方程求解。5-4如图所示，质量为m的质点悬在一线上，线的另一端绕在一半径为R的固定圆柱体上，构成一摆。设在平衡位置时，线的下垂部分长度为l，且不计线的质量，试求摆的运动微分方程。解：该系统为保守系统，有一个自由度，取为广义坐标。系统的动能为：取为零势位，则系统的势能为：拉格朗日函数，代入拉格朗日方程有：整理得摆的运动微分方程为：5-6质量为m的质点在重力作用下沿旋轮线导轨运动，如图所示。已知旋轮线的方程为，式中是以

3、O为原点的弧坐标，是旋轮线的切线与水平轴的夹角。试求质点的运动规律。解：该系统为保守系统有一个自由度，取弧坐标为广义坐标。系统的动能为：h取为零势位，系统的势能为：由题可知，因此有：则拉格朗日函数：代入拉格朗日方程：，整理得摆的运动微分方程为：，解得质点的运动规律为：，其中为积分常数。5-13质量为m的质点沿半径为的圆环运动，圆环以匀角速度绕铅垂直径AB转动，如图所示。试建立质点的运动微分方程，并求维持圆环匀角速度转动所必需的转矩。解：1.求质点的运动微分方程圆环（质量不计）以匀角速度绕铅垂轴AB转动，该系统有一个自

4、由度，取角度为广义坐标。系统的动能为：取为零势位，系统的势能为：则拉格朗日函数：代入拉格朗日方程：，整理得质点的运动微分方程为：2.求维持圆环作匀速转动的力偶如果求力偶，必须考虑圆环绕铅垂轴AB的一般转动。因此解除“圆环绕铅垂轴AB匀速转动”这一约束，将力偶视为主动力。此时系统有两个自由度，取角度和圆环绕轴AB的转角为广义坐标，系统的势能不变，动能表达式中以代替，则拉格朗日函数为：力偶为非有势力，它对应于广义坐标和的广义力计算如下：取，在这组虚位移下力偶所作的虚功为，因此力偶对应于广义坐标的广义力；取，在这组虚位移下

5、力偶所作的虚功为，因此力偶对应于广义坐标的广义力；代入拉格朗日方程，整理可得：代入拉格朗日方程，整理可得：圆环绕铅垂轴AB匀速转动，即：，代入上式可得：5-14如图所示，质量为m的物体可绕水平轴转动，轴又绕铅垂轴以匀角速度转动。物体的质心G在垂直于的直线上，。设和是物体过点的惯量主轴，转动惯量为和，物体对另一过点的惯量主轴的转动惯量为，试求物体的动能表达式并建立物体的运动微分方程。解：z’y’x’z’y’GO3θ垂直于O1O2的平面以该物体为研究对象，有一个自由度，取和OC的夹角为广义坐标。若以框架为动系，则物体的相

6、对运动是以角速度绕轴的定轴转动，牵连运动是以角速度绕轴的定轴转动，物体的绝对角速度是和的矢量之和。为了方便起见，以为轴，为轴，如图建立一个固连在物体上的坐标系，则该刚体的角速度可表示成：由于坐标系的三个坐标轴为过点的三个惯量主轴，则系统的动能为：取为零势位，系统的势能为：则拉格朗日函数：代入拉格朗日方程：，整理后，可得物体的运动微分方程为：5-17重的楔块可沿水平面滑动，重的楔块沿楔块A的斜边滑动，在楔块B上作用一水平力，如图所示。忽略摩擦，角已知，试求楔块A的加速度及楔块B的相对加速度。解：取楔块A，B构成的系统为

7、研究对象，该系统有二个自由度，取楔块A水平滑动的位移，以及楔块B相对于A的沿斜面滑动的位移为广义坐标。若以楔块A为动系，楔块A的速度，楔块B的速度，以及B相对于A的相对速度满足如下的矢量关系（方向如图所示）：xs系统的动能为：取过轴的水平为零势面，系统的势能为：则拉格朗日函数：将水平力视为非有势力，它对应于广义坐标和的广义力计算如下：取，在这组虚位移下力所作的虚功为，因此力对应于广义坐标的广义力；取，在这组虚位移下力所作的虚功为，因此力对应于广义坐标的广义力；代入拉格朗日方程，整理可得：（1）代入拉格朗日方程，整理可

8、得：（2）由方程(1)和方程(2)解得：楔块A的加速度：，方向水平向右。楔块B的相对加速度：，方向沿斜面向上。5-18在光滑水平面上放一质量为m的三角形楔块ABC，质量为，半径为的均质圆柱沿楔块的AB边滚动而不滑动，如图所示。试求楔块的加速度及圆柱的角加速度。解：取楔块ABC和圆柱构成的系统为研究对象，该系统为保守系统，有二个自由度，取楔块水平