二面角和点到直线的距离

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1、中国领先的个性化教育品牌精锐教育学科教师辅导讲义年级：高一辅导科目：数学课时数：3课题二面角和点到直线的距离教学目的1、掌握二面角的定义及平面角的概念2、寻找二面角平面角的方法教学内容1.二面角定义　　平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.这条直线叫二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.　　表示方法：棱为、面分别为的二面角记作二面角.有时为了方便，也可在内(棱以外的半平面部分)分别取点，将这个二面角记作二面角.如果棱记作，那么这个二面角记作二面角或.　　　　　　　　　　　　　　　　2．二面角的平面角　　在二面角的棱上

2、任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则这两条构成的角叫做二面角的平面角.　　　　　　　　　　　　　　　　　二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度.平面角是直角的二面角叫做直二面角.精锐教育网站：www.1smart.org-14-精锐教育·考试研究院中国领先的个性化教育品牌3．怎样解关于二面角问题1.三垂线法：是利用三垂线的定理及其逆定理来证明线线垂直，来找到二面角的平面角的方法。这种方法关键是找垂直于二面角的面的垂线。此方法是属于较常用的。CBMBAPNK例1：如图，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，PA=AB，

3、AC=BC=1，∠ACB=900，M是PB的中点。(1)求证：BC⊥PC，(2)平面MAC与平面ABC所成的二面角的正切。分析：第1小题较简单。第2小题，观察图形中的线面位置关系，已知PA⊥平面ABC，M是PB的中点，若在△PAB中取AB的中点N，则很快发现MN⊥平面ABC，作KN⊥AC，连MK，则由三垂线定理可得MK⊥AC，所以∠MKN为所求的二面角的平面角。而求其正切值，在Rt△MNK中求出MN和KN，而求MN和KN，只需在△PAB和△ABC中就可求出，从而求出其正切值为。评注：本题用定义法较难以实现，但由图可找到二面角一个面的垂线。从而作棱的垂线，由三垂线定理证明是所要找的平面角。

4、关键找到MN这条垂线。ABCMNS例2：如图，已知△ABC中，AB⊥BC，S为平面ABC外的一点，SA⊥平面ABC，AM⊥SB于M，AN⊥SC于N,(1)求证平面SAB⊥平面SBC(2)求证∠ANM是二面角A－SC－B的平面角.分析：由图和题意可得BC⊥平面SAB，从而可得证平面SAB⊥平面SBC，而要证二面角A－SC－B的平面角是∠ANM，从已知条件AM⊥SB于M,由两个平面垂直的性质可得AM⊥平面SBC，又有AN⊥SC，所以由三垂线逆定理可得MN⊥SC，从而证明了∠ANM是二面角A－SC－BC的平面角.评注：本题提供了运用如何从一系列的垂直关系中来逐步找到二面角的一个面的垂线，再由三

5、垂线的定理证明所要找的平面角。本题要特别注意的是这条垂线不是在水平上的，所以观察分析图时要注意多运用有关定理去判断。本题可变形为：如图，已知△ABC中，AB⊥BC，S为平面ABC外的一点，SA⊥平面ABC，∠ACB＝600，SA＝AC＝a，(1)求证平面SAB⊥平面SBC(2)求二面角A－SC－BC的正弦值.解第2小题的第一步是按例4做出二面角的平面角，然后利用各个直角三角形求出AN和AM的长。总之，在运用三垂线找平面角时，找垂线注意应用已知的条件和有关垂直的判定和性质定理，按三垂线的条件，一垂线垂直二面角的一个面，还有垂直于棱的一条垂线。且两垂线相交，交点在二面角的面内。ABCSDE.

6、2.垂面法：作一与棱垂直的平面，该垂面与两二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角。这关键在找与二面角的棱垂直且与两二面角两半平面都有交线的平面。精锐教育网站：www.1smart.org-14-精锐教育·考试研究院中国领先的个性化教育品牌例3：如图在三棱锥S－ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC且分别交AC、SC于D、E，又SA＝AB，SB＝BC，求二面角E－BD－C的度数。分析：由题意和图，可得SC⊥平面BDE，则SC⊥DB，又SA⊥平面ABC，则SA⊥DB，从而得BD⊥平面SAC。所以BD⊥DC，BD⊥DE，则∠DEC是二面角的平面角。要求它的

7、度数，可在Rt△SAC和△DEC中求，先求出∠SCA的度数。设SA＝a，在图的直角三角形中求出SB＝BC＝a，AC＝a，故得到∠SCA＝300，从而得到∠DEB＝600。　举一反三1．如图所示，在四面体ABCD中，△ABD、△ACD、△BCD、△ABC都全等，且，，求以BC为棱，以面BCD和面BCA为面的二面角大小.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2.已知D、E分别是正三棱柱的侧棱和上的点，且.求过D、E、C1精锐教育网