直线方程的几种形式

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1、直线方程的几种形式(一)复习L1//L2k1=k2或k1，k2都不存在L1⊥L2k1k2=-1或k1和k2有一个为0，一个不存在1、两直线平行的判定2、两直线垂直的判定一．直线的点斜式方程1．点斜式方程设直线l过点P0(x0，y0)，且斜率为k，求直线的方程。设点P(x，y)为直线上不同于P0(x0，y0)的任意一点，则直线l的斜率k可由P和P0两点的坐标表示为即y－y0=k(x－x0)。注意：利用点斜式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）当直线l的倾斜角α=90°时，斜率k不存在，不能用点斜式方程表示，但这时直线l恰与y轴平行或重合，这时直线

2、l上每个点的横坐标都等于x0，所以此时的方程为x=x0.（2）当直线l的倾斜角α=0°时，k=0，此时直线l的方程为y=y0，即y－y0=0.（3）当直线l的倾斜角不为0°或90°时，可以直接代入方程求解.2．斜截式方程：如果一条直线通过点(0，b)且斜率为k，则直线的点斜式方程为y=kx+b其中k为斜率，b叫做直线y=kx+b在y轴上的截距，简称直线的截距.注意：利用斜截式求直线方程时，需要先判断斜率存在与否.（1）并非所有直线在y轴上都有截距，当直线的斜率不存在时，如直线x=2在y轴上就没有截距，从而得斜截式方程不能表示与x轴垂直的直线的方程.（2）直

3、线的斜截式方程y=kx+b是y关于x的函数，当k=0时，该函数为常量函数x=b；当k≠0时，该函数为一次函数，且当k>0时，函数单调递增，当k<0时，函数单调递减.（3）直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特例。要注意它们之间的区别和联系及其相互转化.二．直线的两点式方程若直线l经过两点A(x1，y1)，B(x2，y2)，(x1≠x2)，则直线l的方程为这种形式的方程叫做直线的两点式方程.（1）当直线没有斜率(x1=x2)或斜率为零(y1=y2)时，不能用两点式表示它的方程；对两点式方程的理解：（2）需要特别注意整式(x2－x1)(y－y1)=(y2－y1

4、)(x－x1)与两点式方程的区别，前者对于任意的两点都适用，而后者则有条件的限制，两者并不相同，前者是后者的拓展。三．直线的截距式方程若直线l在x轴上的截距是a，在y轴上的截距是b，且a≠0，b≠0，则直线l的方程为，这种形式的方程叫做直线的截距式方程。（1）与坐标轴围成的三角形的周长为：

5、a

6、+

7、b

8、+；（2）直线与坐标轴围成的三角形面积为：S=；（3）直线在两坐标轴上的截距相等，则k=－1或直线过原点，常设此方程为x+y=a或y=kx.截距式方程的应用例1．求下列直线的方程：（1）直线l1：过点(2，1)，k=－1；（2）直线l2：过点(－2，1)和点

9、(3，－3).解：（1）直线l1过点(2，1)，斜率k=－1,由直线的点斜式方程得y－1=－1×(x－2)，整理得x+y－3=0.（2）直线l2的斜率由直线的点斜式方程得整理得直线的方程是4x+5y+3=0.（2）直线l2：过点(－2，1)和点(3，－3).也可以直接用两点式写出直线的方程。例2．求过点(0，1)，斜率为－的直线方程.解：直线过点(0，1)，表明直线在y轴上的截距为1，又直线的斜率为－，由直线的斜截式方程得y=－x+1，整理得x+2y－2=0.例3．求斜率为，在x轴上的截距是－5的直线方程：解：所求直线的斜率是，在x轴上的截距为－5，即过点

10、(－5，0)，用点斜式方程知所求直线的方程是y=(x+5)，即例4．若直线Ax+By+C=0通过第二、三、四象限，则系数A、B、C需满足条件（）（A）A、B、C同号（B）AC<0，BC<0（C）C=0，AB<0（D）A=0，BC<0解：原方程可化为即即A、B同号，A、C同号，故选A.因为直线通过第二、三、四象限，所以其斜率小于0，在y轴上的截距小于0，例5．直线y=ax+b(a+b=0)的图象是（）(A)(B)(C)(D)D例6．三角形的顶点是A(－5，0)、B(3，－3)、C(0，2)，求这个三角形三边所在的直线方程.解：（用两点式求AB所在直线的方程）

11、直线AB经过点A(－5，0)、B(3，－3)，由两点式得整理得3x+8y+15=0，这就是直线AB的方程。（用斜截式求BC所在直线方程）因为B(3，－3)、C(0，2)，所以截距b=2，由斜截式得y=－x+2，整理得5x+3y－6=0，这就是直线BC的方程.（用截距式求AC所在直线的方程）因为A(－5，0)、C(0，2)，所以直线在x，y轴上的截距分别是－5与2，由截距式得整理得2x－5y+10=0，这就是直线AC的方程。练习题：1．下列说法中不正确的是（）（A）点斜式y－y0=k(x－x0)适用于不垂直于x轴的任何直线（B）斜截式y=kx+b适用于不垂直

12、x轴的任何直线（C）两点式适用于不垂直于坐标轴的任何直线（D）截距