齐民友高数下册上课第08章02节点的坐标与向量的坐标

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1、第1章集合第2节　点的坐标与向量的坐标2.1　空间直角坐标系这里“空间”指的是我们生活在的空间。如果把平面直角坐标系放在空间中，我们会发现缺一条表示高度的坐标轴。因此，图2.1空间中三条有共同原点且两两互相垂直的数轴，（这三条数轴分别叫轴(横轴)，轴(纵轴)，轴(竖轴)，且统称为坐标轴）它们的正方向要符合右手规则（右手握住轴，当右手的四个指头从轴的正向以角度转向轴正向时，竖起的大拇指的指向就是轴正向），构成一个空间直角坐标系(图2.1)．可以把轴，轴配置在水平面上，而轴则是铅垂线；也可以不这样．15第1章集合取定空间直角坐标系之后，就可以建立空间点与坐标之间的对应关系

2、．（1）设为空间的一定点，过点分别作垂直于轴，轴，轴的三个平面，它们与轴，轴，轴的交点依次为，这三点在轴，轴，轴的坐标依次为，于是：空间点就惟一地确定了一个有序数组，称为点的坐标．图2.2（2）反过来，任意给定坐标，我们可以在轴上取坐标为的点，在轴上取坐标为的点，在轴取坐标为的点，然后过分别作轴、轴、轴的垂直平面，这三个平面的交点就是坐标确定的惟一的点(图2.2)．这样，通过空间直角坐标系，我们建立了空间点和坐标之间的一一对应关系．依次称，，为点的横坐标、纵坐标和竖坐标，并可将点记作．如同由于平面点与坐标一一对应就有了平面解析几何一样，由于空间点与坐标一一对应就有了空

3、间解析几何——用代数方法研究空间几何对象。15第1章集合ⅥⅡⅢⅤⅧⅠ图2.3ⅦⅣ图2.4三条坐标轴中的任意两条可以确定一个平面，这样定出的三个平面统称为坐标面．由轴与轴所决定的坐标面称为面，类似地还有面与面．这三个坐标面把空间分成了八个部分，每一部分称为一个卦限，如图2.3所示，八个卦限分别用罗马字母Ⅰ，Ⅱ，¼，Ⅷ表示．第一、二、三、四卦限均在面的上方，按逆时针方向确定，其中含有轴、轴与轴正半轴的那个卦限叫做第一卦限．第五、六、七、八卦限均在面的下方，也按逆时针方向确定，它们依次分别在第一至四卦限的下方．思考题：1.试确定空间直角坐标系的各个卦限中点的坐标的符号？题目

4、：1.找出空间中固定点的坐标；2.给定，在空间中找出以为坐标的点；3.做一个表，确定空间中各部分点的坐标特点。类似于平面解析几何，在空间中也可以用点的坐标计算两点间的距离．设，为空间的两点，过，各作三个分别垂直于三坐标轴的平面，这六个平面围成一个以为对角线的长方体，如图2.4所示．可见此长方体各棱的长度分别是，，，从而得对角线的长度，亦即空间两点，间的距离公式为．特别地，点与坐标原点的距离为．(2.1)15第1章集合2.2　向量的坐标表示称空间直角坐标系中，沿轴正向的单位向量为坐标系下的标准单位向量，分别记为．由于对任意向量，总可平移使其起点位于坐标原点，从而存在终点

5、，满足.以为对角线作长方体（图2.5），设点在轴，轴，轴上的投影点分别为，和，有．图2.5设在轴，轴，轴上的坐标分别为，则，因此，．(2.2)我们称(2.2)式为向量的标准分解式，称为向量沿三个坐标轴方向的分向量．向量与它的坐标分解式是一一对应的．显然，给定向量，就确定了点及三个分向量，进而确定了有序数组，称为向量的坐标，从而确定了的标准分解式(2.2)；反之，给定坐标，则由(2.2)式就确定了向量和的标准分解式．于是，向量，标准分解式以及坐标建立了一一对应的关系：因此我们把向量，坐标以及的标准分解式不加区别，记作．空间中点的坐标与向量的坐标是两个不同的概念，符号也不

6、一样。点和它的坐标互相联想；向量和它的坐标以及它的标准分解式互相联想。空间任一点都对应一个向量，称为点（关于原点）的向径．由向量的坐标的定义知向径．记号表示点，向量表示为．当向量的始点放在坐标原点时，向量的坐标与终点的坐标相等。有了向量的坐标，我们就可以用代数方法研究向量代数。向量代数有两套15第1章集合互相平行、互相翻译的理论：1.用空间立体几何描述的向量代数；2.用坐标描述的向量代数。其中用坐标描述的向量代数是我们的重点、考点。（题目（考的）：用坐标作向量的各种运算。）下面我们把向量的线性运算翻译成向量用坐标的线性运算．设，，即，．于是，由向量加法与数乘运算的运算

7、律，，，即，　　　　　　(2.4)．　　　　　(2.5)可见，两向量相加、减就是对应坐标相加、减；数乘向量就是用乘的各坐标．思考题：2．怎样用向量的坐标表示两向量相等？（设，则。）3．设，，求向量的坐标表示式．（（向量的坐标等于终点坐标减始点坐标）。三组数据，和，知其任二可算出其第三！！）15第1章集合下面我们把第1节定理1.1，向量的平行条件：，存在唯一实数，使得，翻译成用坐标表示的平行条件。的坐标表示式为：，因此平行条件可用坐标表示为：，(2.6)（它们的对应坐标成比例。）(2.6)右边不是三个相等的分数，而是三个相等的比。比是允许分母为0的。当