第二章解析函数

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1、第二章解析函数§1　解析函数的概念与柯西-黎曼方程教学目的与要求:了解复变函数的导数与微分;掌握复变函数解析的充要条件;理解柯西-黎曼条件.重点：函数解析的概念与柯西-黎曼方程.难点：函数在一点解析的概念.课时：2学时.１．复变函数的导数与微分定义2.1设函数在点的邻域内（或含的区域内）有定义，若极限　（）　（2.1）存在，则称此极限为函数在点的导数，记为，这时也称在点可导．定义2.2若函数在点可导，则称为函数在点的微分，记为或即　　　（2.2）此时也称在点可微．特别地，当时，，于是（2.2）变为　　　即由此可见，在复变函数中，在点可导

2、与在点可微是等价的．函数由在点可导与可微的概念与数学分析中的可导与可微这两个概念相类似，因此数学分析中求导基本公式，均可类似地推广到复变函数中来．同时，与数学分析中一样，函数在点可微，则在点连续，反之不一定成立，但在数学分析中，要构造一个处处连续又处处不可微的例子是一件非常困难的事情，而在复变函数中，这样的例子却几乎是随手可得．例2.1在平面上处处不可微．证明：由第一章习题11，知在平面上处处连续，但对于任意一点．当取实数趋于零时，上述极限为，而当取纯虚数趋于零时，上述极限为，因此上述极限不存在，即在点不可导，由的任意性知在点平面上处处

3、不可微．如果函数在区域内每一点都可微，则称在区域内可微．例2.2（为正整数）在平面上可微，且即２．解析函数及其简单性质定义2.3若函数在区域内可微，则称为区域内的解析函数（或全纯函数、正则函数）．此时也称在区域内解析．解析函数是复变函数论研究的主要对象，它与相伴区域密切相关．以后说到在某点解析．则表示在该点的某一邻域内解析，说在闭域上解析，则表示在包含的某个区域内解析．因而解析这个概念要比可微的概念条件要强得多．与数学分析一样，解析函数也有如下基本性质：（１）若在区域内解析，则其和，差，积，商（在商的情形，要求分母在内不为零）也在内解析

4、，且　　　　　　　　　　　　　　　（２）（复合函数求导法则）设在区域内解析，在区域内解析，若均有，则在内解析，且　　　　　　例2.3设多项式，则由例2.2及基本性质（１）知，在平面上解析，且例2.4设，则由例2.2及基本性质（２）知有　　　　对于参数方程，则可直接由定义2.1求得　　　　３．柯西（）－黎曼（）条件（简称条件）　　　　　设下面我们来探讨的可微性与二元实函数及之间存在的关系．若在点可微，且设　　　　　　　（2.3）又设　，其中则（2.3）变为　　（2.4）由于当不论按什么方向趋于零时，（2.4）式总是成立，因此我们可以先设，

5、即点沿着平行于实轴的方向趋于点（图２－１），图2.1则此时（2.4）变为由此即知均存在，且有　　（2.5）同理，设，即点沿着平于虚轴的方向趋于点（图），此时（2.4）变为故　亦都存在，且有　　（2.6）由（2.5），（2.6）及复数相等性质可得，　　（2.7）（2.7）称为柯西－黎曼条件或柯西－黎曼方程，简称为条件总结上述讨论，即得：定理2.1（可微的必要条件）设函数在区域内有定义，且在内一点可微，则有（１）在点处偏导数都存在；（２），在点满足条件，但定理2.1的逆不成立．例2.5函数在满足定理2.1的条件，在不可微．　证明　　　　　　

6、　　　　　　　　　但是由于因此当沿着射线随着时，　　　　　　　　　　　它是一个与有关的值，故不存在，即在不可微，但是，只要适当加强定理2.1的条件，就可得到　定理2.2设在区域内有定义，则在内一点可微（或在内解析）的充要条件是：（１），在点（或在内）可微；（２），在点（或在内）满足条件．当上述条件满足时，有　　　　　　(2.8)例2.6讨论的解析性．　解：　只在处满足条件，故只在可微，因此在平面上处处不解析．例2.7试证在平面上处处解析，且．证明：　　　　　，　　　　　．在平面上处处可微，且满足条件，故由定理2.2知在平面上处处解析．且

7、由公式（2.8）知　　　　作业:第90页2,3,4(1)(3)5(2)(4),6(1)(3)§２　初等解析函数教学目的与要求:掌握指数函数与三角函数的性质,掌握它们与数学分析中的指数函数与三角函数的性质的异同点.重点：指数函数与三角函数的性质与数学分析中的指数函数与三角函数的性质的异同点.难点：指数函数与三角函数的性质.课时：2学时.１.指数函数定义2.3对于任意复数，则规定　　　　　　（2.9）为复指数函数．复指数函数具有以下基本性质：(1)当（为实数）时，则即为通常的实指数函数．　(2)（故），．　(3)在平面上解析，且　（例2.7

8、）　(4)加法定理成立，即　(5)以为基本周期．因为对任意整数，．　(6)不存在．因为当沿实轴趋于时，，当沿实轴趋于时，在关系式(2.9)中，当时就得到欧拉公式　　即(2.9)是欧拉公式的推广．２．三角函数