南京航空航天大学灰色系统控制

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1、南京航空航天大学经济管理学院精品课程建设组灰色控制灰色控制是指本征性灰色系统的控制，包括一般控制系统含有灰参数的情形以及以灰色系统方法为主构成的控制等。本章主要内容包括灰色线性控制系统、灰色传递函数、典型环节、灰色关联控制、去余控制和灰色预测控制等。13.1控制与灰色控制作为一种科学概念，控制就是施控装置对受控装置所施加的一种特定作用，是一种有目的、有选择的能动作用。一个控制系统，至少要有施控装置、受控装置和信息通道三个组成部分。仅含上述三个组成部分的控制系统称为开环控制系统，如图所示。开环控制系统较为简单，由输入直接

2、控制输出，其致命弱点为抗干扰性差。带有反馈回路的控制系统称为闭环控制系统，如图所示。闭环控制系统通过输入以及输出的回输共同作用来实现控制。闭环控制系统的突出特点是抗干扰能力强，其输出能够始终围绕预定目标摆动。因此，闭环控制系统具有某种稳定性。所谓灰色控制是指对本征性灰系统的控制，包括一般控制系统含有灰参数的情形以及运用灰色系统的分析、建模、预测、决策思路构造的控制。灰色控制的思想能够更深刻地揭示问题的本质，更有利于控制目的的实现。13.2灰色线性控制系统定义13.2.1设为控制向量，为状态向量，为输出向量，称为灰色线性

3、控制系统的数学模型，其中。相应地，称灰色状态矩阵，为灰色控制矩阵，为灰色输出矩阵。有时候，为特别强调U,X,Y的时变性，即系统的动态特征，也将控制向量、状态向量、输出向量分别记为。灰色线性控制系统数学模型中的第一组方程称为状态方程，第二组方程称为输出方程。定义13.2.2对于给定的时刻和预定精度，若存在，根据系统在之间的输出，，能够按所需的精度测定系统状态，则称系统在内是可观测的；若对任意的，系统在内可观测，则称系统可观测。定义13.2.3对于给定的精度和目标向量若有施控装置及控制向量，通过控制输入可使系统输出按要求的

4、精度达到目标,则称系统是可控的。定义13.2.4当对系统的初始值施加一个扰动时，若其响应（输出）的幅值有界，则称该系统是稳定的；其响应经过一段时间后能最终回到初始状态，则称该系统为渐进稳定的；其响应的幅值无界，则该系统为不稳定的。通常所说的系统稳定性，都是指渐进稳定性。定理13.2.1对于系统其中；；；。令则有当时，系统可观测；当时，系统可控；系统渐进稳定的充分必要条件是状态灰阵的灰特征根之实部灰元的上界均小于零。13.3灰色传递函数与典型环节定义13.3.1设n阶灰参数线性系统的数学模型为对等式两端进行拉普拉斯变换，

5、记，称为灰色传递函数。灰色传递函数是n阶线性灰色控制系统的响应的拉氏变换与驱动项的拉氏变换之比。用一个方程表示的灰色控制系统也称为灰色环节。当某一环节的传递函数已知时，可由驱动项的拉氏变换通过关系求出其响应的拉氏变换，然后求逆变换即可得其响应。驱动与响应的关系如图所示。下面我们来讨论几个典型环节的传递函数。定义13.3.2驱动项与响应具有如下关系的环节称为灰色比例环节，其中为环节的灰色放大系数。命题13.3.1灰色比例环节的传递函数为灰色比例环节的特点是当驱动量发生阶跃变化时，响应值成比例变化。其变化关系以及驱动与响应

6、的关系如图所示。定义14.3.3在单位阶跃驱动下，若响应则称该环节为灰色惯性环节，其中T为环节的时间常数。命题14.3.2灰色惯性环节的传递函数为灰色惯性环节的特点是当驱动量发生阶跃变化时，响应要经过一定的时间方能达到新的平衡状态。图给出了当时灰色惯性环节响应的变化曲线和环节框图。定义13.3.4驱动与响应具有如下关系时，称该环节为灰色积分环节。命题13.3.3灰色积分环节的传递函数为对于灰色积分环节，当驱动为阶跃函数时，其响应为，如图所示。定义13.3.5响应与驱动具有如下关系时，称该环节为灰色微分环节。命题13.3

7、.4灰色微分环节的传递函数为灰色微分环节的特点是当驱动为阶跃函数时，响应为一振幅无穷大的脉冲。定义13.3.6响应与驱动具有如下关系的环节称为灰色时滞环节，其中为灰色常数。命题13.3.5灰色时滞环节的传递函数为对于灰色时滞环节，当驱动为阶跃函数时，响应要经过一段时间之后才发生相应的变化。上面所列举的只是一些典型的基本环节，许多复杂的元件和系统可以看作某些典型环节的组合。如灰色比例环节与灰色微分环节组合，可得灰色比例微分环节；灰色积分环节与灰色时滞环节组合，可得灰色积分时滞环节；再进行下一层的组合，还可得到灰色比例积分

8、微分时滞环节等等。我们可以通过对灰色传递函数之极点的研究来讨论系统的稳定性等问题。而由下面的定理13.3.1可知，任何一个n阶灰色线性系统，可划为一个与之等价的一阶灰色线性系统。故可利用第13.2节的结果讨论灰色线性系统的问题。定理13.3.1对于定义13.3.1所示的n阶灰色线性系统，存在一个与之等价的一阶灰色线性系统。证明设n