本书将系统地应用基本的数学概念

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1、11第1章绪论第1章绪论本书将系统地应用基本的数学概念，这些概念读者应该已经知道，但可能不会立即回想起它们。因此本章将主要帮助读者回顾这些概念，并介绍属于数值分析领域的新概念。同时将使用MATLAB(MATrixLABoratory)工具来帮助阐述这些概念的含义和作用，MATLAB提供了用于科学计算的可编程、可视化的集成环境。1.6节对MATLAB进行简要的介绍，这些介绍足以使读者读懂书中的后续内容，但我们还是向有兴趣的读者推荐手册［HH00］，该手册对MATLAB语言进行了完整的描述和说明。本章将扼要地介绍微积分学、线性代数学和几何学中的基本概念，不

2、过将采用一种更有利于把它们应用到科学计算之中的方式来介绍它们。1.1实数许多人都知道实数集R，但也许很少人能知道计算机处理实数的方式。一方面，计算机的资源是有限的，因此它只能表示出实数集R的有限维的子集F。子集F中的数被称为浮点数。另一方面，正如将要在1.1.2小节中所讲的，用于描述F的性质与用于描述实数集R的性质是不同的。原因是任意实数x原则上都被机器截取了一定位数，这就产生了一个新的数值(称为浮点数)，记为fl(x)，而这个浮点数并不一定要与原来的数x保持完全一致。1.1.1实数的表示为了更好地理解集合R和F之间的区别，我们通过几个MATLAB实例

3、来说明计算机(例如一台PC机)处理实数的方式。至于是采用MATLAB语言，还是采用其他的语言，完全根据使用的方便程度来决定。实际上计算结果主要取决于计算机的工作方式，而很少取决于所采用的编程语言。考虑有理数x=1/7，它表示成小数为0.。由于它的小数位数是无限的，因此它的十进制表示也是无限的。为了得到它的计算机表示，在提示符后输入分数1/7，得到：>>1/7ans=0.142911第1章绪论得到的结果是一个小数点后只有四位的数，而且它的最后一位与初始数字的对应位不同。如果把输入换成1/3，我们将会得到0.3333，此时第四位小数仍然与初始数值的对应位保

4、持一致。这是由于实数在计算机内是四舍五入的。这意味着：首先，只能返回一个固定位数的十进制数；其次，对于最后一位数字来说，如果与其相邻的下一位数字大于或等于5，那么最后一位数字便加1。需要注意的一点是，只使用一个4位十进制数去表示一个实数是存在问题的。实际上，数字在内部是用16位十进制数来表示的，我们所作看到的结果也只是MATLAB多种输出格式中的一种。同样的一个数值，根据其所做的特定格式的说明的不同，便可以得到它的不同表示方式。例如，对于数1/7来说，有下列一些可能的输出格式：formatlongformatshorteformatlongeforma

5、tshortgformatlongg输出输出输出输出输出0.142857142857141.4286e－011.428571428571428e－010.142860.142857142857143可以看出一些表示方式比其他几种方式更加接近计算机的内部表示。实际上，计算机通常采用下列方式来存储一个实数：x=(－1)s·(0.a1a2…at)·βe=(－1)s·m·βe-t，a1≠0(1.1)其中s只能取0或1，(大于或等于2的整数)是计算机采用的底数，整数m称为尾数，尾数的长度t是所存储数据ai的最大位数，范围介于0和－1之间，整数e称为指数。长型e数

6、据采用的表示方法就非常类似于这种形式，其中e代表指数，表示指数大小的数位前面加有正负运算符号，写于字符e的右侧。式(1.1)中所给数值的小数点位置是不固定的，称之为浮点数。数位a1a2…ap(其中p≤t)称为数x的有效数位。a10这一条件保证了同一个数值不会出现多种表示形式。例如，如果没有这一限制条件，数1/10既可以表示为(以10为底)0.1×100，也可以表示成0.01×101等其他形式。因此，集合F可以由底数，有效位数t的大小和指数e的变化范围(L，U)(其中L<0，U>0)完全描述确定。此时集合可表示为F(，t，L，U)。例如，在MATLAB中

7、集合F可以表示为F(2，53，－1021，1024)(实际上，以2为底的含有53个有效数位的数值与MATLAB用长型所显示出来的以10为底的含有15个有效数位的数值是一致的)。当用集合F中的数fl(x)来代替一个不等于0的实数x时，不可避免地会造成舍入误差。由于满足下式：11第1章绪论≤(1.2)所以舍入误差一般都比较小，公式中＝代表距1最近的浮点数与1之间的差值。注意是和t的函数。在MATLAB中，可以通过eps命令来得到，结果为＝2-522.22×10-16。需要指出，在式(1.2)中描述的是x的相对误差，它比绝对误差

8、x－fl(x)

9、有着更实际的

10、意义。实际上，后者未考虑x量值本身的作用，而前者考虑了这个问题。0不属于集合F，因为如果0属于