2019高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程（第1课时）圆的标准方程讲义（含解析）

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1、第1课时　圆的标准方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P118～P120，回答下列问题．(1)圆是怎样定义的？确定它的要素又是什么呢？各要素与圆有怎样的关系？提示：平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)是圆．定点就是圆心，定长就是半径．圆心和半径．圆心：确定圆的位置；半径：确定圆的大小．(2)求圆的标准方程时常用哪些几何性质？提示：求圆的标准方程，关键是确定圆心坐标和半径，为此常用到圆的以下几何性质：①弦的垂直平分线必过圆心．②圆内的任意两条弦的垂直平分线的交点一定是圆

2、心．③圆心与切点的连线长是半径长．④圆心与切点的连线必与切线垂直．2．归纳总结，核心必记(1)圆的标准方程①圆的定义：平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆，定点称为圆心，定长称为圆的半径．②确定圆的要素是圆心和半径，如图所示．③圆的标准方程：圆心为A(a，b)，半径长为r的圆的标准方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.当a＝b＝0时，方程为x2＋y2＝r2，表示以原点为圆心、半径为r的圆．(2)点与圆的位置关系圆的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圆心A(a，b)，半径为r.设所给

3、点为M(x0，y0)，则位置判断方法关系几何法代数法点在圆上│MA│＝r⇔点M在圆A上点M(x0，y0)在圆上⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＝点在圆内│MA│r⇔点M在圆A外点M(x0，y0)在圆外⇔(x0－a)2＋(y0－b)2＞[问题思考]　方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2(a，b，r∈R)表示一个圆吗？为什么？提示：未必表示圆．当r≠0时，表示圆心为(a，b)，半径为

4、r

5、的圆；当r＝0时，表示

6、一个点(a，b)．[课前反思]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)圆的标准方程是什么？怎样求解？　；(2)点与圆有哪些位置关系？　.“南昌之星”摩天轮2006年建成时是世界上最高的摩天轮，它位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，是南昌市标志性建筑．该摩天轮总高度为160米，转盘直径为153米．[思考1]　游客在摩天轮转动过程中离摩天轮中心的距离一样吗？提示：一样．圆上的点到圆心的距离都是相等的，都是圆的半径．[思考2]　若以摩天轮中心所在位置为原点，建立平面直角坐标系，游客在

7、任一点(x，y)的坐标满足什么关系？提示：＝.[思考3]　以(1,2)为圆心，3为半径的圆上任一点的坐标(x，y)满足什么关系？提示：＝3.[思考4]　确定圆的标准方程需具备哪些条件？名师指津：圆的标准方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2中有三个参数，要确定圆的标准方程需要确定这三个参数，其中圆心(a，b)是圆的定位条件，半径r是圆的定量条件．讲一讲1．求过点A(1，－1)，B(－1,1)且圆心在直线x＋y－2＝0上的圆的标准方程．(链接教材P120－例3)[尝试解答]　法一：设所求圆的标准方程为

8、(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知条件知解此方程组，得故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.法二：设点C为圆心，∵点C在直线x＋y－2＝0上，∴可设点C的坐标为(a,2－a)．又∵该圆经过A，B两点，∴

9、CA

10、＝

11、CB

12、.∴＝，解得a＝1.∴圆心坐标为C(1,1)，半径长r＝

13、CA

14、＝2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.法三：由已知可得线段AB的中点坐标为(0,0)，kAB＝＝－1，∴弦AB的垂直平分线的斜率为k＝1，∴AB的垂直平分线的方程为y－0＝1·(x

15、－0)，即y＝x.则圆心是直线y＝x与x＋y－2＝0的交点，由得即圆心为(1,1)，圆的半径为＝2，故所求圆的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝4.求圆的标准方程的方法确定圆的标准方程就是设法确定圆心C(a，b)及半径r，其求解的方法：(1)待定系数法，如法一，建立关于a，b，r的方程组，进而求得圆的方程；(2)借助圆的几何性质直接求得圆心坐标和半径，如法二、三．一般地，在解决有关圆的问题时，有时利用圆的几何性质作转化较为简捷．练一练1．求下列圆的标准方程：(1)圆心是(4,0)，且过点(2,

16、2)；(2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，－4)；(3)过点P(2，－1)和直线x－y＝1相切，并且圆心在直线y＝－2x上．解：(1)r2＝(2－4)2＋(2－0)2＝8，∴圆的标准方程为(x－4)2＋y2＝8.(2)设圆心为C(0，b)，则(3－0)2＋(－4－b)2＝52，∴b＝0或b＝－8，∴圆心为(0,0)或(0，－8)，又r＝5，∴圆的标准方程为x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.(3)∵圆心在y＝－2x上，设圆心为(a，－2a)，则圆心到直线