2019高中数学第四章圆与方程4.1圆的方程第2课时圆的一般方程讲义含解析新人教A版必修2

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1、第2课时　圆的一般方程[核心必知]1．预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材P121～P123，回答下列问题．(1)方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0表示什么图形？x2＋y2－2x＋4y＋6＝0表示什么图形？提示：对方程x2＋y2－2x＋4y＋1＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝4，它表示圆心为(1，－2)，半径为2的圆；对方程x2＋y2－2x＋4y＋6＝0配方，得(x－1)2＋(y＋2)2＝－1，由于不存在点(x，y)满足这个方程，所以它不表示任何图形．(2)把x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0配方后，将得到怎样的方程？这个方程是不是表示圆？提示：得到的方程为2＋2＝.当D2＋E2

2、－4F>0时，该方程表示以为圆心，为半径的圆；当D2＋E2－4F＝0时，方程只有实数解x＝－，y＝－，即只表示一个点；当D2＋E2－4F<0时，方程没有实数解，因此它不表示任何图形．2．归纳总结，核心必记圆的一般方程(1)圆的一般方程的概念：当D2＋E2－4F＞0时，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圆的一般方程．(2)圆的一般方程对应的圆心和半径：圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圆的圆心为，半径长为.[问题思考]所有形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程都表示圆吗？提示：不是，只有当D2＋E2－4F>0时才表示圆．[课前反思

3、]通过以上预习，必须掌握的几个知识点．(1)圆的一般方程是什么？怎样求？　；(2)怎样由一般方程确定圆心和半径？　.　已知圆心(2,3)，半径为2，其标准方程为(x－2)2＋(y－3)2＝4.[思考1]　上述方程能否化为二元二次方程的形式？名师指津：可以，x2＋y2－4x－6y＋9＝0.[思考2]　方程x2＋y2－4x－6y＋13＝0是否表示圆？名师指津：配方化为(x－2)2＋(y－3)2＝0，不表示圆．[思考3]　怎样理解圆的一般方程？名师指津：(1)圆的一般方程体现了圆的方程形式上的特点：①x2、y2的系数相等且不为0；②没有xy项．(2)对方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的说明：

4、讲一讲1．若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求：(1)实数m的取值范围；(2)圆心坐标和半径．[尝试解答]　(1)据题意知，D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5m)＞0，即4m2＋4－4m2－20m＞0，解得m＜，故m的取值范围为.(2)将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成标准方程为(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5m，故圆心坐标为(－m,1)，半径r＝.形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆时可有如下两种方法：(1)由圆的一般方程的定义令D2＋E2－4F＞0，成立则表示圆，否则不表示圆．(2)将方程配方后

5、，根据圆的标准方程的特征求解．应用这两种方法时，要注意所给方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0这种标准形式，若不是，则要化为这种形式再求解．练一练1．下列方程各表示什么图形？若表示圆，求其圆心和半径．(1)x2＋y2＋x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．解：(1)∵D＝1，E＝0，F＝1，∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3＜0，∴方程(1)不表示任何图形．(2)∵D＝2a，E＝0，F＝a2，∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0，∴方程表示点(－a,0)．(3)两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a

6、，E＝－a，F＝0，∴D2＋E2－4F＝2a2＞0，∴方程(3)表示圆，它的圆心为，半径r＝＝

7、a

8、.讲一讲2．求过三点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)的圆的方程，并求这个圆的半径和圆心坐标．[尝试解答]　设所求圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵所求圆过点O(0,0)，M1(1,1)，M2(4,2)，∴解得∴所求圆的方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，∴－＝4，－＝－3，圆心为(4，－3)，半径r＝＝5.应用待定系数法求圆的方程(1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r；(2)如

9、果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D，E，F.练一练2．求经过两点A(4,2)，B(－1,3)，且在两坐标轴上的四个截距之和为2的圆的方程．解：设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0，所以圆在x轴上的截距之和为x1＋x2＝－D；令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0，所以圆在y轴上的截距之和为y1＋y2＝－E；由题设，x1＋x2＋y1＋y2＝－(D＋E)