函数方程思想考题精选

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1、函数与方程思想考题精选【例1】（湖北卷）关于x的方程（x2-1）2-x2-1+k=0，给出下列四个命题：　　①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；　　②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；　　③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；　　④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根.　　其中假命题的个数是（）.　　Ａ.0　　　　Ｂ.１　　　　Ｃ.２　　　　Ｄ.４　　本题是关于函数、方程解的选择题，考查换元法及方程根的讨论，属一题多选型试题，要求考生具有较强的分析问题和解决问题的能力.　　思路分析：　　１.根据题意可令x2-1=t（t≥0），则方程化为

2、t2-t+k=0，（*）作出函数t=x2-1的图象，结合函数的图象可知①当t=0或t>1时，原方程有两上不等的根，②当0

3、f（x）=（x2-1）2-x2-1的图象（如下图）及动直线g（x）=k可得出答案为A.　　　　　　　　　　　　　　7zjz4404@163.com　　3.设t=x2-1（t≥0），t2-t+k=0，方程的判别式为Δ=1-4k，由k的取值依据Δ>0、Δ=0、Δ<0从而得出解的个数.　　4.设函数f（x）=，利用数轴标根法得出函数与x轴的交点个数为5个，以及函数的单调性大体上画出函数的图象，从而得出答案A.　　【点评】思路1、思路2、思路4都是利用函数图象求解，但研究的目标函数有别，思路2利用函数的奇偶　性以及交轨法直观求解，很好地体现了数形结合的数学思想，

4、是数形结合法中值得肯定的一种方法；思路3利用方程的根的个数问题去求解，但讨论较为复杂，又是我们的弱点，有利于培养我们思维的科学性、严谨性、抽象性、逻辑推理能力等基本素质.　　【例2】（广东卷）已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是（）.　　Ａ.5　　　　Ｂ.４　　　　Ｃ.３　　　　Ｄ.２　　解：设等差数列的首项为a1，公差为d据题意得：故选C.　　【点评】运用等差、等比数列的基本量（a1，d，q）列方程，方程组是求解数列基本问题的通法.　　【例３】（安徽卷）设a>0，对于函数f（x）=（0

5、　）.　　Ａ.有最大值而无最小值　                Ｂ.有最小值而无最大值　　C.有最大值且有最小值　                 Ｄ.7zjz4404@163.com既无最大值又无最小值　　解：令t=sinx，t∈（０，１］，则函数f（x）＝（0

6、.　　解：（１）由tanα+cotα=-得3tan2α+10tanα+3=0，即tanα=-3或tanα=-，　　又<α<π，所以tanα=-为所求.　　　　【点评】第（１）问是对方程思想方法灵活考查，能否把条件tanα+cotα=-7zjz4404@163.com变形为关于tanα的一元二次方程，取决于解题的目标意识和是否对方程思想方法的深刻把握和理解.　　【例５】（重庆卷）与向量a=（，），b＝（，-）的夹角相等，且模为１的向量是（　）.　　Ａ.　　　　　　Ｂ.　　　　　Ｃ.　 　　Ｄ.　　【分析】本题涉及单位向量、共线向量、向量的夹角等知识，解题的

7、入口较宽，可从方程、解析几何、复数及向量运算的几何意义等角度入手，对训练我们思维的广阔性有帮助.　　思路分析：　　1.设所求向量为（x，y），则由向量模的定义与夹角公式可得解得该方程组可知答案为Ｂ.　　2.设＝a，=b，则可借助直线的夹角公式求得∠AOB的平分线所在直线方程为y=-x，再由=1可知答案为Ｂ.　　3.在复平面上，向量a，b分别对应于复数z1=+i，z2=-i，因为z1=z2·i，故所求向量对应的复数为z2·或，化简后可知答案选Ｂ.　　4.7zjz4404@163.com容易知道符合题意的向量有两个，所以先排除选项Ａ和选项Ｃ，由于a，b的模相

8、等，故所求向量应与a+b＝（４，－３）共线，从而答案选Ｂ.　　【点评】思路１运用