与圆有缘其乐无穷

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1、与圆有缘其乐无穷江苏省兴化市大营中学（225767）周守扣数学上有些问题看起来与圆无关，但一旦与圆有缘，放到圆中去考虑，往往能化烦为简，化难为易。现举例说明如下：例1如图，AB=AC=AD，且∠DAC=2∠BAC，试说明∠DBC=2∠BDC.分析1：此题可以利用等腰三角形的顶角和底角之间的关系来解决.在△ABC中,∵AB=AC,∴∠ABC=(180°-∠BAC).在△ADC中,∵AD=AC,∴∠ADC=(180°-∠DAC)=(180°-2∠BAC).又∠BAD=∠BAC+∠DAC=3∠BAC.在△ADB中,∵AB=AD,∴∠

2、ABD=∠ADB=(180°-∠BAD)=(180°-3∠BAC).因此∠DBC=∠ABC-∠ABD=(180°-∠BAC)-(180°-3∠BAC)=∠BAC.∠BDC=∠ADC-∠ADB=(180°-2∠BAC)-(180°-3∠BAC)=∠BAC.所以∠DBC=2∠BDC.分析2：此题的条件AB=AC=AD与圆有缘，若以A为圆心,以AB为半径画圆,则B、C、D三点都在⊙A上，如图，则∠DAC和∠BAC就成了同圆的圆心角，∠DBC和∠BDC就成了同圆的圆周角.根据“在同圆或等圆中，相等的弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对圆

3、心角的一半.”可得∠BDC=∠BAC；∠DBC=∠DAC.而∠DAC=2∠BAC所以∠DBC=2∠BDC.例2.设a、b、c、d都是正数，满足=，且a最大，试说明：a+d﹥b+c.分析:由题设=,得ad=bc,联想到相似三角形,又联想到“圆幂定理”而与圆有缘，如图，取线段AC=a，在AC上取一点B，使AB=d，以BC为直径画⊙G，不妨假设b≥c，作割线AD=b，交⊙G于E，作GF⊥AD于F，由“圆幂定理”得AC×AB=AE×AD，即ad=b×AE，所以AE=c.又因为AG=AB+BC=d+（a-d）=（a+d）；同理AF=（b

4、+c）.在直角三角形△AGF中,AG﹥AF,即a+d﹥b+c.例3．在△ABC中，若AB=2AC，试探讨∠B的取值范围.分析：因为题设中有AB=2AC，都有A点公共点，所以易联想到C点围绕A点运动,与圆有缘.如图，以A为圆心,以AC为半径,构造⊙A,因为AB=2AC，则B是⊙A外一点,则△ABC的顶点只能在⊙A上运动(AB与⊙A的交点除外),由圆的切线的知识知:当BC与⊙A相切时,∠B取最大值.而当BC与⊙A相切时,∠C=90,由条件AB=2AC，得∠B=30°.所以∠B的取值范围是0°＜∠B≤30°.例4．在△ABC中，若∠

5、A、∠B、∠C都小于120°试在△ABC内作一点D，使DA+DB+DC最小.分析:这是一道我们都很熟悉的问题,即“费马点”问题，并且知道结论，当∠ADB=∠ADC=∠BDC=120°时，DA+DB+DC最小.(此处不作证明)可问题是我们如何用作图工具去作呢？如果你联想圆，与圆有缘,问题就简单了,如下图.分别以AB、AC为边向△ABC外作等边三角形△ABE，△ACF，再分别作这两个等边三角形△ABE，△ACF的外接圆⊙G、⊙H，设两圆的交点为D，则D就是所要求作的点.现在我们来说明为什么有∠ADB=∠ADC=∠BDC=120°.

6、在⊙G中,因为△ABE是等边三角形,所以∠E=60°,而四边形AEBD内接于⊙G,所以有∠E+∠ADB=180°,所以∠ADB=120°；同理∠ADC=120°,而∠ADB+∠ADC+∠BDC=360°,所以∠BDC=120°.例5.如图，在△ABC中，AB=AC，D在BC上，E在AC，且AD=AE，若∠BAD=40°，试求∠EDC的度数.分析:构造两个圆，设G、F为小圆与AB、BC的交点，连结AF，EF，EG，易得弧GF等于弧DE，所以∠EFD=∠GEF，因为∠EDC=∠FED+∠EFD=∠FED+∠GEF=∠GED=∠GA

7、D=∠BAD=20°从上面几例你是否感觉到，这些问题因为与圆有缘,不仅解法简单了,而且解法有趣了，解完后有一种快乐感觉。这样的问题其实很多，只要留心注意，你一定可以发现很多。当然文中若有不妥之处，还敬请不吝赐教。