2012江苏省数学竞赛《提优教程》教案第4讲__解析几何

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1、第4讲解析几何问题选讲解析几何是在坐标系的基础上，用坐标表示点，用方程表示曲线(包括直线)，用代数方法研究几何问题的一门数学学科．在中学阶段，解析几何研究的主要对象是直线和圆锥曲线(圆、椭圆、双曲线、抛物线)，主要研究的问题是：(1)根据已知条件，求出表示平面曲线的方程；(2)通过方程研究平面曲线的性质．在学习的过程中，同学们首先要熟练掌握直线与圆锥曲线的方程的各种表示方法及其适用的范围，并能灵活地选择适当的表示方法以便能快捷地解题．A类例题例1．S为直线l1：7x＋5y＋8＝0和l2：3x＋4y－13＝0的交点，点P(

2、3，7)，Q(11，13)所成的直线PQ上有两点A、B，其中P在A、Q之间，B在P、Q之间，并且＝＝．不求S的坐标，试求出直线SA与SB的方程．(IMO—30预选题)解由题意知，SA的方程为：(7x＋5y＋8)＋λ(3x＋4y－13)＝0，①SB的方程为：(7x＋5y＋8)＋μ(3x＋4y－13)＝0，②由＝＝及分点公式，得A、B的坐标分别为A(－13，－5)，B(，)．它们分别适合①、②，代入后求得λ＝－，μ＝－．因此，所求的直线SA、SB的方程分别为：SA的方程165x－296y＋665＝0；SB的方程723x－58

3、4y＋1007＝0．例2．从椭圆＋＝1的右焦点向它的动切线引垂线，求垂足的轨迹．解法一设切点为Q(acosθ，bsinθ)，则椭圆的切线QP的方程为x＋y＝1，即(bcosθ)x＋(asinθ)y＝ab①过右焦点F2(c，0)垂直于切线QP的直线F2P的方程为(asinθ)x－(bcosθ)y＝acsinθ②则垂足P满足①、②．①2＋②2得：(x2＋y2)(a2sin2θ＋b2cos2θ)＝a2(b2＋c2sin2θ)＝a2[b2＋(a2－b2)sin2θ]＝a2(b2cos2θ＋a2sin2θ)，显然b2cos2θ＋a

4、2sin2θ≠0，所以x2＋y2＝a2．即垂足P的轨迹方程为圆x2＋y2＝a2．解法二如图，延长F1Q与F2P交于R，因为QP为切线，则有∠F2QP＝∠RQP，又PF2⊥PQ，所以

5、QR

6、＝

7、QF2

8、，

9、PR

10、＝

11、PF2

12、．因为

13、F1Q

14、＋

15、F2Q

16、＝2a，则

17、F1Q

18、＋

19、RQ

20、＝2a，即

21、F1R

22、＝2a，则

23、OP

24、＝

25、F1R

26、＝a．即垂足P的轨迹方程为圆x2＋y2＝a2．说明在解题时，若能充分运用图形的几何性质，往往可获得快捷的解法．例3．设已知三条直线l1：mx－y＋m＝0；l2：x＋my－m(m＋1)＝0；l3：(

27、m＋1)x－y＋(m＋1)＝0，它们围成ΔABC．(1)求证：不论m为何值，ΔABC有一个顶点为定点；(2)当m为何值时，ΔABC的面积有最大值、最小值？(第五届美国普特南数学竞赛题)(1)证明直线l1的方程可写成(x＋1)m－y＝0，故直线l1恒过点C(－1，0)．同样，直线l3的方程可写成(x＋1)m＋x－y＋1＝0，故直线l3恒过点C(－1，0)，即直线l1、l3交于定点(－1，0)，由此可见ΔABC的顶点C为定点．(2)解注意到l1⊥l2，即AB⊥AC，则ΔABC为直角三角形，用点到直线的距离公式求出点C到直线A

28、B的距离为d1＝，求出B到AC的距离d3＝．SΔABC＝·＝

29、1＋

30、．当m＞0时，m＋≥2，等号在m＝1时成立，S有最大值；当m＜0时，m＋≤－2，等号在m＝－1时成立，S有最小值．说明我们可以用下面的方法：直线l1、l2的交点坐标为(，)，直线l2、l3的交点坐标为(0，m＋1)，直线l1、l3的交点坐标为(－1，0)．故ΔABC的顶点C为定点(－1，0)．SΔABC＝＝·．以下同例题中的解法．情景再现1．已知圆x2＋y2＝r2经过椭圆＋＝1(a＞b＞0)的两个焦点F1(－c，0)，F2(c，0)，两曲线有四个交点，其

31、中一个交点为P．若ΔF1PF2的面积为26，椭圆长轴长为15，求a＋b＋c的值．(2000年“希望杯”竞赛题)2．设p＞0，当p变化时，Cp：y2＝2px为一族抛物线，直线l过原点且交Cp于原点和点Ap．又M为x轴上异于原点的任意点，直线MAp交Cp于点Ap和Bp．求证：所有的点Bp在同一条直线上．3．已知椭圆4x2＋5y2－8mx－20my＋24m2－20＝0．(1)求证椭圆的两焦点分别在两条（与m无关的）平行线l1、l2上；(2)求与l1平行且被椭圆截得的线段长等于的直线l的方程．B类例题例4．椭圆＋＝1的内接平行四

32、边形ABCD的边AB的斜率为k．试求四边形ABCD面积的最大值．解设AB(CD)所在直线的方程为y＝kx＋m．由于AB、CD平行且相等，故可知AB、CD的纵截距分别为m和－m．于是AB、CD关于原点对称．由对称性知△OAB的面积等于四边形ABCD面积的．故只要求出△AOB的面积的最大值即可．以y＝kx＋m代入b2x2