微积分a》（下补）辅导

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1、第六章向量代数与空间解析几何一、向量代数《微积分A》（下）串讲向量的运算乘法运算向量垂直、平行的充要条件二、空间解析几何平面方程：点法式A(xx0)B(yy0)C(zz0)0直线的方程：点向式或标准式xx0yy0zz0mnp第六章向量代数与空间解析几何第七章多元函数微分学曲线的方程一、偏导数的概念f(x,y)f(x,y)f(x,y)lim000曲面方程及图形x00xx0xx0如：球面方程x2y2z2R2f(x0,y)f(x0,y0)fy(x0,y0)lim2222yy0yy0抛物面方程zxyz1xy例如332x3y开口向上

2、开口向下一、1f(x,y)22(x,y)(0,0)xy目的：为后面各章内容做准备！0(x,y)(0,0)第七章多元函数微分学第七章多元函数微分学3f(x,0)f(0,0)2xfx(0,0)limlim32二、偏导数的计算x0x0x0x求导基本公式表1直接函数f(0,y)f(0,0)3y3求导运算法则fy(0,0)limlim3y0y0y0y32复合函数3隐函数求导1第七章多元函数微分学第七章多元函数微分学如：含有抽象函数的复合求导运算三、全微分zf(x,y)yzz例如：二、uxyf(xy,)概念和计算dzdxdyxx

3、y其中f有连续的二阶偏导数四、方向导数与梯度计算u2uf(x,y,z)x23y2z2求,.例如：一、2xyx在P(2,2,1)处沿P向O(0,0,0)的方向导数.第七章多元函数微分学第七章多元函数微分学五、微分学几何应用2曲面在某点处的切平面F(x,y,z)01曲线在某点处的切线方程关键：法向量和切点坐标n{Fx,Fy,Fz}关键：切向量和切点坐标六、多元函数的极值及应用若曲线方程为：xx(t),yy(t),zz(t)求参数tt0处的切线方程.1求函数的极值切点坐标：(x(t0),y(t0),z(t0))必要条件、充分条件切向量：{x(t0

4、),y(t0),z(t0)}3322xx(t)yy(t)zz(t)例如：一、3f(x,y)x8y3x12y000切线方程：x(t0)y(t0)z(t0)求其极值点。第七章多元函数微分学第八章重积分2多元函数的最值一、二重积分画域、定限3条件极值1直角坐标系下的计算1例三、I22dxdyD:xy1,yx,y2xyD2极坐标系下的计算22例I1xydxdy22D:xy12第八章重积分第八章重积分3球坐标系下的计算3交换累次积分的次序1y例I(x2y2)dV例一、5I0dyyf(x,y)dx:x2y2z2R2二、

5、三重积分的计算三、重积分的应用1直角坐标系下的计算1几何应用求面积、体积公式2物理应用质心坐标、转动惯量2柱坐标系下的计算xdV22例I(x2y2)dVVJz(xy)dVx22dV:zxy与z1围成V第八章重积分22(x2y2)(2xx2y2)dxdy例八、设是由曲面zxy和平面z2xD所围成的立体,其上质量分布是均匀的2cos222(密度为),求绕z轴旋转的转动惯量.d0(2cos)d222解：在xoy面上的投影区域为D:xy2x.6J(x2y2)dV22c

6、os6d2.z1503V2x22(xy)dxdydzx2y2D第九章曲线、曲面积分第九章曲线、曲面积分一、曲线积分2第二类曲线积分1第一类曲线积分计算：一代、二换、三定限（上终下始）计算：一代、二换、三定限（上大下小）3平面曲线与路径无关的条件例一、4ttt例九、(x2y32x5ky)dx[xf(xy)2y]dy曲线L:xecost,yesint,ze求dl.0t2与路径无关，切满足Lx2y2z2(t,t)2352(xy2xky)dx[xf(xy)2y]dy2t(0,0)235求f(u)及k,(xy2xky

7、)dx[xf(xy)2y]dy的原函数.3第九章曲线、曲面积分Xx2y3x5kyYxfxyyt6t2解：2,()2,即：f(u)dut230XY22,即3xykf(xy)xyf(xy)对t求导，得f(t2)1t4yx221k令ut,得f(u)u1.k1,C0.记uxy,有f(u)f(u)3uuu(x2y32x5ky)dx[xf(xy)2y]dy2Cf(u)uk.u(x2