2009考研数学难点、疑点解析及重要公式与结论

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1、2009考研数学难点、疑点解析及重要公式与结论——行列式来源：文都教育2009考研数学大纲对“线性代数”部分的要求对于考三个卷种的同学来说是基本相同的。第一部分“行列式”，是线性代数后续内容的基础，这部分同学们要注意以下问题：一、n阶行列式的定义对于n阶行列式的定义，重点应把握两点：一是每一项的构成，二是每一项的符号。直观地说，每一项的构成是不同行不同列的n个元素相乘，一个n阶行列式共有n！项；n阶行列式的展开式中每个乘积项前面所带符号为，即当行指标为自然排列时，根据列指标排列的逆序数确定此项的符号，当列指标排列的逆序数为偶排列时，符号为正；当列指标排列的逆序数为奇排列时，符号为负。若

2、n阶行列式的展开式乘积项行指标不是自然排列时，乘积项的符号应按行指标排列与列指标排列的逆序数之和的奇偶性来确定。若n较大时，用定义计算行列式将是十分繁琐的，一般采用行列式的性质和按行列展开定理进行分析。二、行列式的计算方法行列式的基本计算方法有两个：1、利用行列式的性质将行列式化成较简单的且易于计算的行列式（如上下三角形行列式等）；2、利用行列式的展开定理，将高阶行列式化成低阶行列式进行计算。在实际计算过程中，往往将以上两种方法交替使用：先利用性质将某行（列）化出尽可能多的零元素，再用按行（列）展开定理进行降阶。注意，在化零元素的过程中，尽量不要出现分式，否则计算过程往往会变得十分繁杂

3、。另外，行列式的性质和按行列展开定理还是讨论行列式相关理论的重要基础，在后面的学习过程中经常会遇到，因此，务必理解行列式的性质和行列展开定理的含义和功能。三、克莱姆法则6克莱姆法则是行列式的重要应用，利用它可以简洁地表示方程组的解，还可以在不求解方程组的情况下判断方程组解的情况。但应注意应用克莱姆法则有两个条件：一是方程组方程的个数与未知量的个数必须相同，二是系数行列式不为零。由于受到这些条件的限制以及计算高阶行列式的困难，使得克莱姆法则主要用于理论分析及较简单方程组的求解，而求解线性方程组的一般方法在后面还详细介绍。四、重要公式与结论1、三阶行列式2、上（下）三角行列式的值等于主对角

4、线元素的乘积3、对于副对角线行列式，有4、0两类特殊的分块行列式（拉普拉斯展开式的应用）65、n阶范德蒙行列式（）注：当两两互不相同时，行列式的值不为零。矩阵6矩阵是线性代数的基础，它与向量、线性方程组密切相关，掌握了矩阵的基本内容，对于线性方程组及二次型的处理就能得心应手。1.关于矩阵的秩的说明矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具。矩阵可经初选行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是惟一确定的，这个数实质上就是矩阵的“秩”，鉴于这个数的惟一性尚未证明，在本章中，我们首先利用子式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法。

5、设A为矩阵，当A=O时，它的任何子式都为零。当A≠O时，它至少有一个元素不为零，即它至少有一个一阶子式不为零。再考查二阶子式，若A中有一个二阶子式不为零，则往下考查三阶子式，如此进行下去，最后必达到A中有r阶子式不为零，而再没有比r更高阶的不为零的子式。这个不为零的子式的最高阶数r反映了矩阵A内在的重要特征，在矩阵的理论与应用中都有重要意义。利用定义计算矩阵的秩，需要由高阶到低阶考虑矩阵的子式，当矩阵的行数与列数较高时，按定义求秩是非常麻烦的（注：阶矩阵A的k阶子式共有个）。由于行阶梯形矩阵的秩很容易判断，而任意矩阵都可以经过初等变换化为行阶梯形矩阵，因而可考虑借助初等变换法来求矩阵的

6、秩。2.关于线性方程组的矩阵表示设有线性方程组(1)若记则利用矩阵的乘法，线性方程组（1）可表示为矩阵形式：6Ax=b(2)其中矩阵A称为线性方程组（1）的系数矩阵。方程（2）又称为矩阵方程。如果是方程组（1）的解，记列矩阵这时也称C是矩阵方程（2）的解；反之，如果列矩阵C是矩阵方程（2）的解，即有矩阵AC=b成立，则也是线性方程组（1）的解。这样，对线性方程组（1）的讨论便等价于对矩阵方程（2）的讨论。特别地，齐次线性方程组可以表示为Ax=0。将线性方程组写成矩阵方程的形式，不仅书写方便，而且可以把线性方程组的理论与矩阵理论联系起来，这给线性方程组的讨论带来很大的便利。1.关于矩阵方

7、程对标准矩阵方程AX=B，XA=B，AXB=C，利用矩阵简洁的运算规律和逆矩阵的运算性质，通过在方程两边左乘或右乘相应的矩阵的逆矩阵，可求出其解分别为，，，而其它形式的矩阵方程，则可通过矩阵的有关运算性质转化为标准矩阵方程后进行求解。2.关于用初等变换法求解矩阵方程AX=B设矩阵A可逆，则求解矩阵方程AX=B等价于求矩阵，为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩阵行变换同时也将其中的矩阵B化为，即6这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程