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1、详解海明码2008年10月15日星期三09:20例题1已知海明码的关系式S0=a2+a3+a4+a6S1=a1+a4+a5+a6S2=a0+a3+a4+a5请填充下述S2S1S0值与错误位置的对应表S2S1S0
2、000
3、001
4、010
5、011
6、100
7、101
8、110
9、111---------------------------------------------------------错码位置
10、无错
11、
12、
13、
14、
15、
16、
17、分析：先看001,对应S2S1S0就是S0=1，即S0出错，而S0=a2+a3+a4+a6，就看S0的四项
18、里哪一项S1和S2里没有，很明显是a2，所以001下面填a2.看010,S1错，S1=a1+a4+a5+a6，S1里哪一项S0和S2里没有？是a1，所以010下面填a1看011，S1和S0都错，那S1和S0里都有哪一项呢？a4和a6，但是S2无错，S2里也有a4，没有a6，所以是a6错，011下面填a6100,101,110同看111，S2、S1和S0都错，那么哪一项s2,s1和s0里都有呢？a4，所以111下面填a4例题2在海明码编码方法中，若冗余位为3位，且与错码位置的对应关系为S2S1S011111010101
19、1100010001000错码位置a6a5a4a3a2a1a0无错则S1的监督关系式为()。A.S1=a1+a3+a5+a6B.S1=a2+a3+a4+a6C.S1=a1+a3+a4+a5D.S1=a1+a2+a5+a6解析：由题可知，a1,a3,a5或a6中的一位错都应使S1为1，由此可以得到监督关系式为S1=a1+a3+a5+a6例3.已知海明码的监督关系式为：S2=a2+a3+a4+a6S1=a1+a4+a5+a6S0=a0+a3+a4+a5接收端收到的码字为a6a5a4a3a2a1a0=1010100，问在最
20、多一位错的情况下发送端发送的码字是什么?(1)根据海明码的监督关系式S2=a2+a3+a4+a6S1=a1+a4+a5+a6S0=a0+a3+a4+a5，得下表：S2S1S0000001010011100101110111错误位置无错a0A1a5a2a3a6a4(2)将a6a5a4a3a2a1a0=1010100分别代入海明码的监督关系式得：(其中“+”号表示异或运算)；s2=1+0+1+1=1s1=0+1=0+1=0s0=0+0+1+0=1即s2s1s0=101(3)查表可知：接收到的比特序列第4位有错，正确的应是
21、：a6a5a4a3a2a1a0=1011100例4.假设k=4，需要纠正一位错误，则2^r>=n+1=k+r+1=4+r+1解得r>=3。我们取r=3，则码长为3+4=7。用a6,a5,...a0表示这7个码元。用s1,s2,s3表示三个监关系式中的校正子。我们作如下规定：s1s2s3错码的位置001a0010a1100a2011a3101a4110a5111a6000无错按照表中的规定可知，仅当一个错码位置在a2,a4,a5或a6时校正子s1为1，否则s1为0。这就意味着a2,a4,a5,a6四个码元构成偶校验关系
22、：s1=a6⊕a5⊕a4⊕a2(1)式同理，可以得到：s2=a6⊕a5⊕a3⊕a1(2)式s1=a6⊕a4⊕a3⊕a0(3)式在发送信号时，信息位a6,a5,a4,a3的值取决于输入信号，是随机的。监督为a2,a1,a0应该根据信息位的取值按照监督关系决定，即监督位的取值应该使上述(1)(2)(3)式中的s1,s2,s3为0，这表示初始情况下没有错码。即a6⊕a5⊕a4⊕a2=0a6⊕a5⊕a3⊕a1=0a6⊕a4⊕a3⊕a0=0由上式进行移项运算，得到：a2=a6⊕a5⊕a4a1=a6⊕a5⊕a3a0=a6⊕a4⊕
23、a3已知信息位后，根据上式即可计算出a2,a1,a0三个监督位的值。接收端受到每个码组后，先按照(1)~(3)式计算出s1,s2,s3，然后查表可知错码情况。例如，若接收到的码字为0000011，按照(1)~(3)计算得到：s1=0,s2=1,s3=1查表可得在a3位有一个错码。这种编码方法的最小汉明距离为d=3，所以这种编码可以纠正一个错码或者检测两个错码。
