点共圆问题与Clifford链定理北京师范大学张英伯

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1、五点共圆问题与Clifford链定理北京师范大学张英伯2007年4月一、引子在世纪之交的2000年5月，当时的国家主席江泽民视察澳门濠江中学，兴致勃勃地出了一道“五点共圆”的几何题。江泽民先生随后给数学家和数学教育家张景中院士打电话征询答案，并亲函濠江中学参考。与此同时，濠江中学的四位数学老师也各自独立地作出了解答。我很敬佩濠江中学的这些老师们，他们的数学功底由此可见一斑。这个图形就是五点共圆问题。当时的表述是：给出一个不规则的五角星，做所得五个小三角形的外接圆，其中每相邻的两个圆交于两个点，在所得五边形五顶点外的点共有五个，证明这五点共圆。2003年春天，我去德国访问。我

2、的老板，代数学家ClausRingel问我，你知道江问题吗？我正在脑子里紧张地搜索江姓数学家的名单，老板得意地笑了，“哎呀呀，你们的国家主席呀！”Claus刚从伦敦开会回来，他说在伦敦的会议上，数学家们聊起了江泽民先生提出的五点共圆问题，觉得国家主席关注几何学非常有趣。Claus随手在黑板上画出了五点共圆问题的推广。2006年底，华东师范大学张奠宙先生在澳门组织的高级研讨班邀请我去做报告，报告刚好在濠江中学举行。濠江中学校方与我们会面时介绍了当年江泽民主席的视察。我一下子想起三年前与Claus的对话，就临时改变报告题目，凭记忆谈了广义的五点共圆问题。回到学校，正赶上本科生准

3、备毕业论文，一个保送研究生的女孩儿希望读代数方向的硕士，来我这里要题目，我说你试着找找五点共圆问题的推广吧。感谢今天的互联网，把这个世界所有的信息摆在了每一个人的面前。经过一个礼拜的搜索，女孩子终于找到了一位日本数学家冈洁的传记，在传记的最后一页的最后一个脚注中，提到Clifford定理将五点共圆问题推广到了任意的正整数。有了这个名字，事情便简单多了。女孩马上去搜索Clifford所有文章的目录，找到了他关于这个问题的文章：OnMiquel’stheorem.遗憾的是年代过于久远，我们的北京图书馆，中科院图书文献中心都没有收藏。再一次感谢互联网，北图很快通知我们文章在大英图

4、书馆找到了，付钱之后就可以扫描过来。还是由于年代过于久远，大英图书馆将刊有这篇文章的杂志收在一个乡间的书库。付过的钱被退了回来，原文的扫描和复印件都不能提供，原因无可奉告。因为没有见到原文，我今天讲的证明，基于F.Morley1900年发表在美国数学会Transaction上的一篇文章Onthemetricgeometryoftheplanen-line.Morley也是英国人，几何学家。在十九世纪下半叶和二十世纪初，许多欧美大数学家致力于建立欧几里得几何的公理化体系。希尔伯特用了三十年的时间，先后出版七稿，写成了几何基础一书。十九世纪下半叶和二十世纪初，我国正处于清朝末年

5、，尚未进入近代数学的研究领域。将数学基础研究首先引入中国的是我国著名的数学家，我国近代数学教育的先驱傅种孙先生。他在二十年代翻译了希尔伯特的几何基础，倾其毕生精力在北京师范大学，师大附中教书，引进国外教材，培训中学教师。正因为我国的近代数学研究起步较晚，对当时的一些研究领域比较陌生。当几何基础引起广泛讨论的时候，许多古老的几何问题，比如与三角形相关的点，直线和圆的问题被发现并研究。1838年，Miquel证明了有关四圆共点的定理。一百三十六年前的1871年，在四圆共点的定理的基础上，英国数学家WilliamKingdonClifford建立了Clifford链定理，并在英国

6、早期的一本杂志《MessengerofMathematics》第五册上发表了证明。Clifford本人因他提出的Clifford代数而闻名于数学界。。Clifford链定理是数学史上非常著名的有趣而又奇妙的定理。19世纪末和20世纪初，许多欧美数学家都研究并论述过这个问题，一方面研究它的多种证明方法，一方面研究这些点圆和其他一些著名的点圆之间的关系，还有人积极探索它的扩展，例如向高维情况的引伸。在欧美的许多深受欢迎的数学杂志上，不断地发表与Clifford链定理相关的研究成果。二、Clifford链定理的表述n=3n=2任选平面内两两相交，且不共点的三条直线，则其中每两条为

7、一组可以确定一个点，共有三个点，那么这三个点确定一个圆。任选平面内两条相交直线，则这两条直线确定一个点。n=4n=4任选平面内两两相交，且任意三条直线都不共点的四条直线，则其中每三条为一组可以确定一个圆，共有四个这样的圆，则这四个圆共点。此点被称为Wallace点。n=5任取平面内两两相交，且任意三条直线都不共点的五条直线，则其中每四条作为一组可确定如上所述的一个Wallace点，共有五个这样的点，那么这五个点共圆，此圆被称为Miquel圆（即五点共圆问题）。n=6任取平面上两两相交的六条直线，且任意三条直线都不共