等差数列与等比数列知识梳理.docx

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1、等差数列与等比数列知识梳理凭祥高中赵海莉2018.10.14等差数列等比数列概念概念从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一常数的数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为0)的数列相同点①都强调每一项与它的前一项的关系；②结果都必须是同一常数；③数列都可由a1，d或a1，q确定不同点①强调的关系为差；②首项a1和公差d可以为零；③两数的等差中项唯一①强调的关系为比；②首项a1和公比q均不为零③如果两数有等比中项，则等比中项有两个通项公式an通项公式an＝a1＋(n－1)d是特殊的一次函数an＝a1qn－1当q≠1时，a

2、n＝·qn推导方法累加法累积法与函数关系an＝pn＋qS当q>0时，且q≠1时等比数列的通项公式可以看作指数型函数前n项和Sn前N项和公式Sn＝＝na1＋d.Sn＝推导方法倒序相加法错位相减法与函数特性Sn＝an2＋bn.由{an}的前n项和Sn组成的新数列S1，S2，S3，…，Sn，…的图象是二次函数y＝ax2＋bx图象上一系列孤立的点设a＝，数列{Sn}的图象是函数y＝－aqx＋a图象上一群孤立的点。必刷题p38第5题判断数列类型方法(1)等差数列的判断方法①定义法：an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．②通

3、项公式法：an＝a1＋(n－1)d(其中a1，d为常数，n∈N*)⇔{an}为等差数列．③等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}是等差数列．④前n项和公式法：Sn＝An2＋Bn(A，B为常数，n∈N*)⇔{an}是等差数列．①定义法：＝q(q为常数且q≠0，n∈N*)或＝q(q为常数且q≠0，n≥2)⇔{an}为等比数列．②等比中项法：a＝an·an＋2(an≠0，n∈N*)⇔{an}为等比数列．③通项公式法：an＝a1qn－1(其中a1，q为非零常数，n∈N*)⇔{an}为等比数列性质通项公式的变形an＝a1＋(

4、n－1)d＝am＋(n－m)dan＝am·qn－m，an＋m＝anqm＝amqn(m，n∈N*)m，n，p，q∈N*p＋q＝m＋n⇒ap＋aq＝am＋an若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aqap＝q，aq＝p(p≠q)⇒ap＋q＝0；Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnda1a2a3…am，am＋1am＋2…a2m，a2m＋1a2m＋2…a3m，…，成等比数列(m∈N*)n≥2，且n∈N*，k≥2，k∈N*Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…，构成的数列是等差数列Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…，Skn－S(k－1)n，…，成等比数

5、列(q≠－1)＝n＋是关于n的一次函数或常函数，数列也是等差数列。必刷题p30第4题{an}，{bn}成等比数列，则{λan}，{}，{anbn}，{}成等比数列(λ≠0，n∈N*)Sn＝＝＝＝…若等差数列{an}的项数为偶数2m，公差为d，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m＝m(am＋am＋1)，S偶－S奇＝md，＝.若等比数列的项数为2n(n∈N*)，公比为q，奇数项之和为S奇，偶数项之和为S偶，则＝q若等差数列{an}的项数为奇数2m－1，所有奇数项之和为S奇，所有偶数项之和为S偶，则所有项之和S2m－

6、1＝(2m－1)am，S奇＝mam，S偶＝(m－1)am，S奇－S偶＝am，＝若Sm＝n，Sn＝m(m≠n)，则Sm＋n＝－(m＋n)中项注意事项任何2个数都有等差中项只有同号的两个数才能有等比中项；两个同号的数的等比中项有两个，它们互为相反数三个数成等差数列，通常设为a-d,a,a+d,四个数成等差数列，通常设为a-3d,a-d,a+d,a+3d，公差为2d.三个数成等比数列，通常设为，x，xq；四个数成等比数列，通常设为，，xq，xq3求数列通项公式的常用方法公式法等差数列的通项公式等比数列的通项公式已知Sn(即a1＋a2＋…＋an

7、＝Sn)，求an用作差法：an＝注意：用公式法求数列通项时，需注意“一分为二”和：“合二为一”两种可能。必刷题p50刷真题第8题第（1）问已知a1·a2·…·an＝f(n)，求an用作商法：an＝若an＋1－an＝f(n)，求a用累加法：an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝f(n－1)＋f(n－2)＋…＋f(1)＋a1(n≥2)．若＝f(n)，求an用累乘法：an＝··…··a1＝f(n－1)·f(n－2)·…·f(1)·a1(n≥2)an＋1＝pan＋q构造等比数列法若已知an＋1＝pan＋q(

8、p≠0，p≠1，q≠0)，设存在非零常数λ，使得an＋1＋λ＝p(an＋λ)，其中λ＝，则数列就是公比为p的等比数列，先求出数列的通项公式，再求出数列{an}的通项公式即可必刷题p37第25题，p35第30