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《4(135152)不定积分》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、第四章不定积分§1.1不定积分内容网络图原函数定义不定积分线性运算法则性质基本积分公式表凑微积不定积分换元法积分法按公式变量替换分部积分法有理函数的不定积分按被积函数三角函数的不定积分简单无理函数的不定积分§1.2内容提要与释疑解难定义设在区间I上有定义，若存在一个可微函数，使得对一切。定理若在区间I上的一个原函数，则在区间I的全体原函数为，是常数.定义若则在区间E上的全体原函数称为在区间I上的不定积分，记作。注：根据定义可知求出的的定义域至少要与的定义域一样。基本积分表注：从不定积分表中可看出，求出不定积分
2、形式可以不一样，如何验证所求不定积分的正确性，只要把所求的不定积分求导看是否为被积函数即可.不定积分性质性质1.性质2.性质3若的原函数都存在，则（i）；.注1：从性质1可知不定积分是导数的逆运算，正是利用这一性质，寻找哪个函数的导数为，则这个函数就是的一个原函数性质2性质2告诉我们求不定积分的一个方法，即如何把形式，实际上就是这正是微分的逆过程，从而可以利用我们所学的微分基本公式，微分的四则运算，尤其是一阶微分形式不变性，把的不定积分。§1.2解题基本方法与技巧一、不定积分的基本方法1.凑微分（第一换元法）
3、的一个原函数，由分析过程可知定理（凑微分）设注：给一个不定积分，要想运用凑微分，关键是能否把被积表达式的形式，并且要求f(u)的原函数能求出来，在具体运用此定理时，一般不引入中间变量u，而直接写出结果，即为了熟练运用凑微分，记住下列微分关系是必要的（其实就是求原函数）.1.6.2.7.3.8.4.9.5.10.2．变量代换法由一阶微形式的不变性知，t=定理（变量代换法）若严格单调，可微，且，则用变量代换求不定积分的具体步骤是可导＝变量代换适合被积函数中含有根式且不能直接求出，也不能用线性运算法则或凑微分求出时
4、，则需用变量代换，目的是为了去掉根号，一般来说，当被积函数中含有变量代换不仅适合于去根号，只要通过变量代换能求出原函数都可以用。3．分部积分定理（分部积分法）若在具体运用这个公式时，关键是把被积函数表示成的形式，而且目的是要把转化，从而转化为求不定积分分部积分适合下列情形，当的n次多项式时，1..2..3..上面需要用n次分部积分.在下列情形中，的多项式或其它的表达式，当不能凑微分求出时，常常要用分部积分4..5..6..在求不定积分时，需要基本不定积分表（还有一些重要的不定积结果），线性运算法则，凑微分，变
5、量代换，分部积分综合运用。重要的不定积分有..这些结果都要记住.例1求.解法一解法二解法三同理可求，这两个结果要记住.注：千万不要忘了加C，加了C是一族原函数，不加C只是一个原函数，相差甚远。例2求（a＞0）.解令,原式作出直角三角形,可知于是原式.同理可得。这两个结果要记住.注1：在利用三角变换时,代换回原变量时,尽管可以三角公式,但有时很麻烦,我一般根据三角变换,画出直角三角形,求出三角形的各边长,然后根据三角函数的定义,非常方便地求出所需角t的三角函数。注2：在变量代换时，会遇到去绝对值，若绝对值中的式
6、子，有时正，有时负，被积函数是初等函数，这时可不妨设绝对值中的式子大于零，不影响求不定积分，一般说，结果是一样的。例3求.解原式.例4求.解原式.例5求.解由,（i）当,原式.（ii）当时，原式.例6求.解法一原式==解法二原式=例7求.解法一当时,原式.当时,原式.总之.解法二原式。解法三令原式=注：从这两种解法中可看出不定积分的形式差别很大,但确实都是被积函数的原函数.例8求.解令于是原式==.例9求.解原式设====.例10求.解法一原式=.解法二令原式.例11求.解原式.注：结果不要忘了加c。有的读者
7、可能会说，两个不定积分抵消了没有c，不论怎样，不定积分，结果都要加c。例12求.解原式例13求.解原式例14求。解例15设且求.解由于知.又得于是例16已知是的一个原函数，求.解由于是的一个原函数。有于是例17求.解法一解法二令于是原式.注：有时用变量代换，形式上比较简洁，不容易出错。例18求.解,化简得,解得.同理可得.例19设.解其中注：对于这一类积分，直接求出原函数比较困难，常常是建立递推关系式，最后总可降到n=0或n=1等等，从而求出不定积分。例20设解f(x)==由f(x)在x=0处可导必连续，得例
8、21求解由于有原函数在x=0处可导必连续得-1+故注1：求带有绝对值式子的函数的不定积分需转化为分段函数来计算。注2：求分段函数的不定积分，直接求出不同区间上表达式的不定积分。由于不定积分是区间上的原函数，故分界嗲是没有不定积分的，但要注意分界两测函数的不定积分要加不同的常数C1，C2，然后根据原函数在分界点可导必连接，确定出C，C之间的关系。二、有理函数的不定积分设分别是n次和m次多项式，称为有理
