模糊数学简介39727

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1、模糊数学简介模糊数学(Fuzzymathematics,弗晰数学)是解决模糊性问题的数学分支.这里所谓的“模糊”是相对于“明晰”而言的,而所谓的“明晰”即非此即彼.明晰数学数学的基础是经典集合论:一个元素a,要么属于集合A,要么要么属于A的余集,二者必居其一.但是并非所有的现象和概念都象经典集合论这样“明晰”,有许多概念没有明确的界限,特别是在人类的思维与语言中，例如:高矮、胖瘦、美丑等.模糊数学的出现与计算机智能模拟密切相关.1965年,美国加利福尼亚大学自动控制专家L.A.Zadeh第一次提出了模糊性问题,从不同于经典数

2、学的角度,研究数学的基础集合论,给出了模糊概念的定量表示方法,发表了著名的论文“模糊集合”(Fuzzysets).这篇论文的问世,标志着模糊数学的诞生.随着研究的深入,模糊数学的内容日益丰富,其思想与方法正在广泛地渗透到科学和技术的很多领域,取得了很多重要成果,例如:模糊识别、模糊决策、模糊控制、预报预测等.L.A.Zadeh是美国工程科学院院士,1921年2月出生在前苏联的阿塞拜疆,1942年毕业于伊朗的德黑兰大学,1949年获美国哥伦比亚大学电机工程博士学位,现任伯克利加利福尼亚大学电机工程与计算机科学系教授,曾多次在一

3、些大学和公司做访问研究,其中包括MIT和IBM实验室.他的著名论文L.A.Zadeh,Fuzzysets,Informationandcontrol,1965,8(3):338-353.第一章模糊集合§1.1经典集合经典集合的元素彼此相异,即无重复性,并且边界分明,即一个元素x要么属于集合A(记作xA),要么不属于集合(记作xA),二者必居其一.集合A的特征函数：集合的表示法：(1)枚举法；(2)描述法，A={x

4、P(x)}.AB若xA，则xB；AB若xB，则xA；A=BAB且AB.集合A的所有子集

5、所组成的集合称为A的幂集,记为2A.并集A∪B={x

6、xA或xB}；交集A∩B={x

7、xA且xB}；设全集是X,AX,余集Ac={x

8、xX,xA}.集合的运算规律幂等律：A∪A=A，A∩A=A；交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A；结合律：(A∪B)∪C=A∪(B∪C)，(A∩B)∩C=A∩(B∩C)；吸收律：A∪(A∩B)=A，A∩(A∪B)=A；分配律：(A∪B)∩C=(A∩C)∪(B∩C);(A∩B)∪C=(A∪C)∩(B∪C);0-1律：A∪X=X，A∩X=A；A∪=A，A∩=；还原律：(Ac)

9、c=A；对偶律：(A∪B)c=Ac∩Bc，(A∩B)c=Ac∪Bc；排中律：A∪Ac=X，A∩Ac=,其中X为全集，为空集.集合运算的特征函数表示这里∨表示取大运算,∧表示取小运算.集合的笛卡儿积：XY={(x,y)

10、xX,yY}.映射f:XY二元关系XY的子集R称为从X到Y的二元关系,特别地，当X=Y时，称之为X上的二元关系.二元关系简称为关系.若(x,y)R,则称x与y有关系，记为R(x,y)=1；若(x,y)R,则称x与y没有关系，记为R(x,y)=0.映射R:XY{0,1}实际上是XY的子集R

11、上的特征函数.关系的矩阵表示法设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,yn},R为从X到Y的二元关系，记rij=R(xi,yj)，R=(rij)m×n，则R为布尔矩阵(Boolematrix)，称为R的关系矩阵.布尔矩阵是元素只取0或1的矩阵.关系的合成设R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,则R1与R2的合成R1○R2是X到Z上的一个关系.(R1○R2)(x,z)=∨{[R1(x,y)∧R2(y,z)]

12、y∈Y}关系合成的矩阵表示法设X={x1,x2,…,xm},Y={y1,y2,…,ys},Z={z1,z

13、2,…,zn},且X到Y的关系R1=(aik)m×s，Y到Z的关系R2=(bkj)s×n，则X到Z的关系可表示为矩阵形式：R1○R2=(cij)m×n，其中cij=∨{(aik∧bkj)

14、1≤k≤s},R1○R2称为矩阵的布尔乘积.例设X={1,2,3,4},Y={2,3,4},Z={1,2,3},R1是X到Y的关系,R2是Y到Z的关系,R1={(x,y)

15、x+y=6}={(2,4),(3,3),(4,2)},R2={(y,z)

16、y–z=1}={(2,1),(3,2),(4,3)},则R1与R2的合成R1○R2={(x,z)

17、

18、x+z=5}={(2,3),(3,2),(4,1)}.等价关系：设R为X上的关系,如果满足(1)自反性：X中的任何元素都与自己有关系，即R(x,x)=1；(2)对称性：对X中的两个元素x,y,若x与y有关系,则y与x有关系,即若R(x,y)=1，则R(y,x)=1；(3)传递性：对于X中