北京信息科技大学数据机构课件第7章

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1、第七章图本章的主要内容是:图的逻辑结构图的存储结构及实现图的遍历图的连通性与最小生成树拓扑排序关键路径最短路径欧拉1707年出生在瑞士的巴塞尔城，19岁开始发表论文，直到76岁。几乎每一个数学领域都可以看到欧拉的名字，从初等几何的欧拉线，多面体的欧拉定理，立体解析几何的欧拉变换公式，四次方程的欧拉解法到数论中的欧拉函数，微分方程的欧拉方程，级数论的欧拉常数，变分学的欧拉方程，复变函数的欧拉公式等等。据统计他那不倦的一生，共写下了886本书籍和论文，其中分析、代数、数论占40%，几何占18%，物理和力学占28%，天文学占11%，弹道学、航海学

2、、建筑学等占3%。1733年，年仅26岁的欧拉担任了彼得堡科学院数学教授。1741年到柏林担任科学院物理数学所所长，直到1766年，重回彼得堡，没有多久，完全失明。欧拉在数学上的建树很多，对著名的哥尼斯堡七桥问题的解答开创了图论的研究。图论——欧拉能否从某个地方出发，穿过所有的桥仅一次后再回到出发点？哥尼斯堡七桥问题CADB七桥问题的图模型哥尼斯堡七桥问题欧拉回路的判定规则：1.如果通奇数桥的地方多于两个，则不存在欧拉回路；2.如果只有两个地方通奇数桥，可以从这两个地方之一出发，找到欧拉回路；3.如果没有一个地方是通奇数桥的，则无论从哪里出

3、发，都能找到欧拉回路。图的定义7.1图的逻辑结构图是一种数据结构。由顶点的有穷非空集合和顶点之间关系的集合组成，通常表示为：G=(V，E)其中：G表示一个图，V是具有相同特性的数据元素的集合，称为顶点集；E是图G中顶点之间关系的集合，成为边集或弧集。E＝{

4、v,w∈V且P(v,w)}或{(v,w)

5、v,w∈V且P(v,w)}表示从v到w的一条弧，称v为弧头，w为弧尾。(v,w)表示v与w之间的一条边。谓词P(v,w)定义了弧或边(v,w)的意义或信息。7.1图的逻辑结构如果图的任意两个顶点之间的边都是无向边，则

6、称该图为无向图。若顶点vi和vj之间的边没有方向，则称这条边为无向边，表示为(vi,vj)。若从顶点vi到vj的边有方向，则称这条边为有向边，表示为。如果图的任意两个顶点之间的边都是有向边，则称该图为有向图。V1V2V3V4V5V1V2V3V47.1图的逻辑结构图的基本术语简单图：在图中，若不存在顶点到其自身的边，且同一条边不重复出现。V3V4V5V1V2V3V4V5V1V2非简单图非简单图简单图V1V2V3V4V5数据结构中讨论的都是简单图。7.1图的逻辑结构图的基本术语邻接、依附无向图中，对于任意两个顶点vi和顶点vj，若

7、存在边(vi，vj)，则称顶点vi和顶点vj互为邻接点，同时称边(vi，vj)依附于顶点vi和顶点vj。V1V2V3V4V5V1的邻接点：V2、V4V2的邻接点：V1、V3、V57.1图的逻辑结构图的基本术语邻接、依附有向图中，对于任意两个顶点vi和顶点vj，若存在弧，则称顶点vi邻接到顶点vj，顶点vj邻接自顶点vi，同时称弧依附于顶点vi和顶点vj。V1V2V3V4V1的邻接点：V2、V3V3的邻接点：V4在线性结构中，数据元素之间仅具有线性关系；在树结构中，结点之间具有层次关系；在图结构中，任意两个顶点之间

8、都可能有关系。FECBAD线性结构ABCDEF树结构V1V2V3V4V5图结构不同结构中逻辑关系的对比在线性结构中，元素之间的关系为前驱和后继；在树结构中，结点之间的关系为双亲和孩子；在图结构中，顶点之间的关系为邻接。FECBAD线性结构ABCDEF树结构V1V2V3V4V5图结构不同结构中逻辑关系的对比无向完全图：在无向图中，如果任意两个顶点之间都存在边，则称该图为无向完全图。有向完全图：在有向图中，如果任意两个顶点之间都存在方向相反的两条弧，则称该图为有向完全图。图的基本术语V1V2V3V1V2V3V47.1图的逻辑结构含有n个顶点的无

9、向完全图有多少条边？含有n个顶点的有向完全图有多少条弧？7.1图的逻辑结构含有n个顶点的无向完全图有n×(n-1)/2条边。含有n个顶点的有向完全图有n×(n-1)条边。V1V2V3V1V2V3V4稀疏图：称边数很少的图为稀疏图（e

10、数目，记为OD(v)。V1V2V3V4V57.1图的逻辑结构图的基本术语在具有n个顶点、e条边的无向图G中，各顶点的度之和与边数之和的关系？å==niievTD12)(V1V2V