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1、积分变换第2讲本文件可从网址http://math.vip.sina.com上下载(单击'ppt讲义'后选择'工程数学2'子目录)习题一1.试证:若f(t)满足傅氏积分定理的条件,则有其中证由第8页1.6式得即a(w)b(w)2.证:当f(t)为奇函数奇函数偶函数当f(t)为偶函数偶函数奇函数习题一3.函数的图形为1-1otf(t)1可得普阿松积分公式Otf(t)如果a是任一实数,则显然也有积分路线如图所示:ABCDb-RRO实轴虚轴此外,因傅氏变换1.傅氏变换的概念我们知道,若函数f(t)满足傅氏
2、积分定理的条件,则在f(t)的连续点处,有(1.8)式叫做f(t)的傅氏变换式,(1.9)式为F(w)的傅式逆变换式,f(t)与F(w)可相互转换,可记为F(w)=F[f(t)]和f(t)=F-1[F(w)]还可以将f(t)放在左端,F(w)放在右端,中间用双向箭头连接:f(t)F(w)(1.8)式右端的积分运算,叫做f(t)的傅氏变换,同样,(1.9)式右端的积分运算,叫做F(w)的傅氏逆变换.F(w)称作f(t)的象函数,f(t)称作F(w)的象原函数. 可以说象函数F(w)和象原函数f(t)
3、构成了一个傅氏变换对.tf(t)根据(1.8)式,有这就是指数衰减函数的傅氏变换.根据(1.9)式,有因此有如果令b=1/2,就有可见钟形函数的傅氏变换也是钟形函数求钟形脉冲函数的积分表达式,根据(1.9)式2.单位脉冲函数及其傅氏变换在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数.因为有许多物理现象具有脉冲性质,如在电学中,要研究线性电路受具有脉冲性质的电势作用后产生的电流;在力学中,要研究机械系统受冲击力作用后的运动情况等.研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数.在原来电流为零的电路中,某一瞬
4、时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲,现在要确定电路上的电流i(t).以q(t)表示上述电路中的电荷函数,则由于电流强度是电荷函数对时间的变化率,即所以,当t0时,i(t)=0,由于q(t)是不连续的,从而在普通导数意义下,q(t)在这一点是不能求导数的.如果我们形式地计算这个导数,则得这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.为了确定这样的电流强度,引进一称为狄拉克(Dirac)的函数,简单记成d-函数.有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷,点热源,集
5、中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决.对于在(-,)上定义的所有可积函数的集合,也可以构成一线性空间,进一步地在上面定义内积,就可以构成一欧氏空间,两个函数f(t)和g(t)的内积可以定义为:对于给定的f(t),我们希望找到一个函数和它的内积能够正好等于f(0).如果f(t)在0处连续,我们可以用一非常小的正数e>0,计算f(t)在区间[0,e]上的平均值,则这个平均值近似等于f(0):而实际上这相当于f(t)和一称作de(t)的函数内积
6、:tde(t)1/eeO称de(t)的弱极限为d-函数,记为d(t)de(t)1/eeO如f(t)在0点连续,则在0附近的非常小的一个领域可以看作是常数c=f(0).因此,任给一个在(-,)上积分值为1的函数g(t)图例:OtOt工程上将d-函数称为单位脉冲函数,可将d-函数用一个长度等于1的有向线段表示,这个线段的长度表示d-函数的积分值,称为d-函数的强度.tOd(t)1d-函数有性质d-函数的傅氏变换为:tOd(t)1wOF(w)1可见,单位脉冲函数d(t)与常数1构成了一傅氏变换对.同
7、理,d(t-t0)和亦构成了一个傅氏变换对.在物理学和工程技术中,有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件,即不满足条件例如常数,符号函数,单位阶跃函数以及正,余弦函数等,然而它们的广义傅氏变换也是存在的,利用单位脉冲函数及其傅氏变换就可以求出它们的傅氏变换.所谓广义是相对于古典意义而言的,在广义意义下,同样可以说,象函数F(w)和象原函数f(t)亦构成一个傅氏变换对.pwO
8、F(w)
9、Otu(t)若F(w)=2pd(w)时,由傅氏逆变换可得所以1和2pd(w)也构成傅氏变换对.同理,如F(
10、w)=2pd(w-w0)由上面两个函数的变换可得例4求正弦函数f(t)=sinw0t的傅氏变换如图所示:tsintpp-w0w0Ow
11、F(w)
12、在频谱分析中,傅氏变换F(w)又称为f(t)的频谱函数,而它的模
13、F(w)
14、称为f(t)的振幅频谱(亦简称为频谱).由于w是连续变化的,我们称之为连续频谱,对一个时间函数作傅氏变换,就是求这个时间函数的频谱.例5作如图所示的单个矩形脉冲的频谱图f(t)单个矩形脉冲的频谱函数为:tE-t/2t/2矩形脉冲的频谱图为wEt
15、F(
