2019届高考数学复习第七章不等式推理与证明课时跟踪训练37基本不等式及其应用文

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1、课时跟踪训练(三十七)基本不等式及其应用[基础巩固]一、选择题1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(  )A.a2+b2>2abB.a+b≥2C.+>D.+≥2[解析] ∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A错误.对于B,C,当a<0,b<0时,明显错误.对于D,∵ab>0,∴+≥2=2.[答案] D2.(2017·福建福州外国语学校期中)在下列各函数中,最小值为2的函数是(  )A.y=x+(x≠0)B.y=cosx+C.y=(x∈R)D.y=ex+-2(x∈R)[解析] 对于A项,当x<

2、0时,y=x+≤-2,故A错;对于B项,因为00,所以y=ex+-2≥2-2=2,当且仅当ex=2,即x=ln2时等号成立.故选D.[答案] D3.(2017·陕西咸阳质检)已知x+y=3,则2x+2y的最小值是(  )A.8B.6C.3D.4[解析] 因为2x>0,2y>0,x+y=3,所以由基本不等式得2x+2y≥2=2=4,当且仅当2x=2y,即x=y=时等

3、号成立,故选D.[答案] D4.(2017·湖南衡阳四校联考)设x,y为正实数,且x+2y=1,则+的最小值为(  )A.2+2B.3+2C.2D.3[解析] 因为x,y为正实数,且x+2y=1,所以+=(x+2y)·=3++≥3+2=3+2,当且仅当x=y=-1时取等号.所以+的最小值为3+2.故选B.[答案] B5.(2017·江西九江一中期中)已知a>0,b>0,如果不等式+≥恒成立,那么m的最大值等于(  )A.10B.7C.8D.9[解析] 不等式+≥恒成立,即不等式m≤(2a+b)·恒成立,而(2a+b)

4、=5++≥5+2=9,当且仅当a=b时“=”成立,所以m≤9,m的最大值等于9,故选D.[答案] D6.(2015·陕西卷)设f(x)=lnx,0pD.p=r>q[解析] ∵0,又f(x)=lnx在(0,+∞)上单调递增,故f()p,∵r=(f(a)+f(b))=(lna+lnb)=ln=f()=p,∴p=r

5、卷)若直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),则2a+b的最小值为________.[解析] ∵直线+=1(a>0,b>0)过点(1,2),∴+=1,∴2a+b=(2a+b)=2++2+≥4+2=8(当且仅当b=2a,即a=2,b=4时取等号).[答案] 88.设b>a>0,且a+b=1,则,2ab,a2+b2,b四个数中最大的是________.[解析] 根据基本不等式知a2+b2>2ab(b>a>0),因为b>a>0,且a+b=1,所以b>>a.因为b-a2-b2=b(a+b)-a2-b2=a(b-a)>0,

6、所以,2ab,a2+b2,b四个数中最大的是b.[答案] b9.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是________.[解析] 本题考查基本不等式及其应用.设总费用为y万元,则y=×6+4x=4≥240.当且仅当x=,即x=30时,等号成立.[答案] 30三、解答题10.(1)已知a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,求证:++≥9.(2)设a、b均为正实数,求证:++ab≥2.[证明] (

7、1)∵a>0,b>0,c>0,且a+b+c=1,∴++=++=3++++++=3+++≥3+2+2+2=9,当且仅当a=b=c=时,取等号.(2)∵+≥2=,当且仅当a=b时取等号.又+ab≥2,当且仅当ab=时取等号,∴++ab≥2,当且仅当即a=b=时取等号.[能力提升]11.(2017·河北保定一模)司机甲、乙加油习惯不同,甲每次加定量的油,乙每次加固定钱数的油,恰有两次甲、乙同时加同单价的油,但这两次的油价不同,则从这两次加油的均价角度分析(  )A.甲合适B.乙合适C.油价先高后低甲合适D.油价先低后高甲合

8、适[解析] 设甲每次加m升油,乙每次加n元钱的油,第一次加油x元/升,第二次加油y元/升.甲的平均单价为=,乙的平均单价为=,因为x≠y,所以=>=1,即乙的两次平均单价低,乙的方式更合适,故选B.[答案] B12.(2018·贵州铜仁一中月考)若两个正实数x,y满足+=1,且不等式x+

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