2019届高考数学复习第七章不等式推理与证明课时跟踪训练37基本不等式及其应用文

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1、课时跟踪训练(三十七)基本不等式及其应用[基础巩固]一、选择题1．若a，b∈R，且ab>0，则下列不等式中，恒成立的是(　　)A．a2＋b2>2abB．a＋b≥2C.＋>D.＋≥2[解析]　∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴A错误．对于B，C，当a<0，b<0时，明显错误．对于D，∵ab>0，∴＋≥2＝2.[答案]　D2．(2017·福建福州外国语学校期中)在下列各函数中，最小值为2的函数是(　　)A．y＝x＋(x≠0)B．y＝cosx＋C．y＝(x∈R)D．y＝ex＋－2(x∈R)[解析]　对于A项，当x<

2、0时，y＝x＋≤－2，故A错；对于B项，因为00，所以y＝ex＋－2≥2－2＝2，当且仅当ex＝2，即x＝ln2时等号成立．故选D.[答案]　D3．(2017·陕西咸阳质检)已知x＋y＝3，则2x＋2y的最小值是(　　)A．8B．6C．3D．4[解析]　因为2x>0,2y>0，x＋y＝3，所以由基本不等式得2x＋2y≥2＝2＝4，当且仅当2x＝2y，即x＝y＝时等

3、号成立，故选D.[答案]　D4．(2017·湖南衡阳四校联考)设x，y为正实数，且x＋2y＝1，则＋的最小值为(　　)A．2＋2B．3＋2C．2D．3[解析]　因为x，y为正实数，且x＋2y＝1，所以＋＝(x＋2y)·＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当x＝y＝－1时取等号．所以＋的最小值为3＋2.故选B.[答案]　B5．(2017·江西九江一中期中)已知a>0，b>0，如果不等式＋≥恒成立，那么m的最大值等于(　　)A．10B．7C．8D．9[解析]　不等式＋≥恒成立，即不等式m≤(2a＋b)·恒成立，而(2a＋b)

4、＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当a＝b时“＝”成立，所以m≤9，m的最大值等于9，故选D.[答案]　D6．(2015·陕西卷)设f(x)＝lnx,0pD．p＝r>q[解析]　∵0，又f(x)＝lnx在(0，＋∞)上单调递增，故f()p，∵r＝(f(a)＋f(b))＝(lna＋lnb)＝ln＝f()＝p，∴p＝r

5、卷)若直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，则2a＋b的最小值为________．[解析]　∵直线＋＝1(a>0，b>0)过点(1,2)，∴＋＝1，∴2a＋b＝(2a＋b)＝2＋＋2＋≥4＋2＝8(当且仅当b＝2a，即a＝2，b＝4时取等号)．[答案]　88．设b>a>0，且a＋b＝1，则，2ab，a2＋b2，b四个数中最大的是________．[解析]　根据基本不等式知a2＋b2>2ab(b>a>0)，因为b>a>0，且a＋b＝1，所以b>>a.因为b－a2－b2＝b(a＋b)－a2－b2＝a(b－a)>0，

6、所以，2ab，a2＋b2，b四个数中最大的是b.[答案]　b9．(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________．[解析]　本题考查基本不等式及其应用．设总费用为y万元，则y＝×6＋4x＝4≥240.当且仅当x＝，即x＝30时，等号成立．[答案]　30三、解答题10．(1)已知a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，求证：＋＋≥9.(2)设a、b均为正实数，求证：＋＋ab≥2.[证明]　(

7、1)∵a>0，b>0，c>0，且a＋b＋c＝1，∴＋＋＝＋＋＝3＋＋＋＋＋＋＝3＋＋＋≥3＋2＋2＋2＝9，当且仅当a＝b＝c＝时，取等号．(2)∵＋≥2＝，当且仅当a＝b时取等号．又＋ab≥2，当且仅当ab＝时取等号，∴＋＋ab≥2，当且仅当即a＝b＝时取等号．[能力提升]11．(2017·河北保定一模)司机甲、乙加油习惯不同，甲每次加定量的油，乙每次加固定钱数的油，恰有两次甲、乙同时加同单价的油，但这两次的油价不同，则从这两次加油的均价角度分析(　　)A．甲合适B．乙合适C．油价先高后低甲合适D．油价先低后高甲合

8、适[解析]　设甲每次加m升油，乙每次加n元钱的油，第一次加油x元/升，第二次加油y元/升．甲的平均单价为＝，乙的平均单价为＝，因为x≠y，所以＝>＝1，即乙的两次平均单价低，乙的方式更合适，故选B.[答案]　B12．(2018·贵州铜仁一中月考)若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋