分数阶微积分在量子力学和反常扩散方程中的应用

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1、山东大学硕士学位论文分数阶微积分在量子力学和反常扩散方程中的应用姓名：林爱华申请学位级别：硕士专业：应用数学指导教师：蒋晓芸20090410山东大学硕士学位论文分数阶微积分在量子力学和反常扩散方程中的应用林爱华(山东大学数学学院，山东，济南250100)摘要本论文由彼此相关而又独立的三章所组成．第一章为预备知识，简要介绍了本文所需要的数学工具．在§1．1节中。简要介绍了分数阶微积分的发展历史、基本概念及在与本文内容相关的几个领域内的研究进展．给出了Riemann-Liouville型分数阶微积分算子和Ca

2、puto型微积分算子的定义及主要性质．在§1．2节中，给出了两类特殊函数，即Mittag-Leflter函数与H—Fox函数的定义及其某些重要公式．在§1．3节中，介绍了分数阶微积分的Fourier变换，Laplace变换，以及有限Hankel变换．第一章是以后各章的基础．第二章，在前人对分数阶薛定谔方程访掣=儿咐)，所作研究的基础上，求得了粒子入射双6势垒时空间分数阶薛定谔方程D。(一危2凸Ja。妒(z)+％陋(z)+6(x一口)]砂(。)=E1；fI(z)，所满足的跃变条件(一心社V帅+)-(一惝社r

3、e(0_)=等，与(一心社re(n+)-(_删2。。1re(Ⅱ_)-器．求出了透射系数和反射系数的表达式．讨论了粒子发生共振透射时的条件，进而讨论了整数阶和分数阶薛定谔方程的关系．其结论与参考文献【29】中结果一致．最后，给出了在动量表象中含有双6势垒的空间分数阶薛定谔方程的解的表达式始，=羔(墨)七碟叭等)～Ii0

4、菇1。蕊l'tfl1、喙；，]．山东大学硕士学位论文第三章建立r有限分形介质中带有分数髟r振子的分数阶反厦扩取方崔掣=万D丽0(严1掣)．南卜(㈨舭c(r∥)．利用Laplace变换，有限H

5、ankel变换及相应的逆变换给出了以广义Mittag—Leffier函数表示的上述问题浓度分布的解析解．如㈡=喜甓揣佩啦我们将二维、三维空间以及整数阶的有限分形介质中反应扩散的模型作为本文的特例给予了讨论．最后，分析讨论了不含吸附项的二维和三维欧式空间情形下有限分形介质中分数阶反应扩散方程掣=旦r棚'-i熹(少1掣)，—丽-2——丽r百J’经计算求得其解为俐=壹i笔篱挑啦其结果与参考文献f是一致的．变换关键词t分数阶微积分；量子力学；反常扩散；分数阶振子；特殊函数；积分山东大学硕士学位论文TheAppli

6、cationsofFractionalCalculusinQuantumMechanicsandAnomalousDiffusionEquationsAihuaLin(SchoolofMathematics，ShaLIldongUniversity,Jinan250100)AbstractThispaperiscomposedofthreechapters，whichareindependentandcorrelativetooneanother．Inchapter1：priorknowledge，the

7、definitionandhistoryoffractionalcal—culusareintroduced．Insection§1．1，thedevelopmenthistoryandrecentapplicationsoffractiona．1calculusarcintroducedconcisely，thedefinitionsandmainpropertiesoftheRiemann-liouvillefractionaloperatorandCaputofractionaloperatorax

8、egiven．Insee-tion§1．2thedefinitionsandimportantformulaeoftwospecialfunctions·Mattag—LefflerfunctionandH-Foxfunctionarediscussed．Insection§1．3，severalintegraltransformsarediscussed．Insection§1．4，theFouriertransform，theLaplacetransform，thefiniteHankeltransf

9、ormoffractionalcalculusarediscussed．Thischapteristhebasisforthefollowingchaptersofthisthesis．Inchapter2，onthebasisofprecedingresearchofSchrSdingerequation，．}a皿(z，。厅—丽=风皿(z，t)，westudythefractionalSchrSdingerequationw