优化决策理论与方法

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1、决策理论与方法(2)——优化决策理论与方法合肥工业大学管理学院Saturday,July17,2021确定性决策确定性决策：指未来状态是确定的（即只有一种状态）一类决策问题，每一个行动方案对应着一个确定的结果值，此时决策函数仅依赖于决策变量。特点：状态是确定的；决策问题变为优化问题。决策的已知变量：决策变量及其取值范围解决问题的主要理论方法：最优化理论与方法注：最优化理论与方法（数学规划）也可以求解不确定性决策问题、随机性决策问题决策理论与方法-优化决策理论与方法确定性决策优化决策方法的问题求解过程辨识目标C，确定优化的标准，如：利润、时间

2、、能量等确定影响决策目标的决策变量x，形成目标函数C=f(x)明确决策变量的取值范围，形成约束函数设计求解算法，寻找决策目标在决策变量所受限制的范围内的极小化或极大化。最优化问题的一般形式为：决策理论与方法-优化决策理论与方法优化问题分类可行点与可行域：满足约束条件的x称为可行点，所有可行点的集合称为可行域，记为S；约束优化与无约束优化：当SRn时，称为约束优化；当S=Rn时，称为无约束优化；多目标优化：若f是多个目标函数构成的一个向量值函数，则称为多目标规划；线性规划与非线性规划：当f,g,h均为线性函数时称为线性规划，否则称为非线性规

3、划。决策理论与方法-优化决策理论与方法优化问题分类整数规划：当决策变量的取值均为整数时称为整数规划；若某些变量取值为整数，而另一些变量取值为实数，则成为混合整数规划。动态规划与多层规划：若决策是分成多个阶段完成的，前后阶段之间相互影响，则称为动态规划；若决策是分成多个层次完成的，不同层次之间相互影响，则称为多层规划。决策理论与方法-优化决策理论与方法优化决策理论与方法1、线性规划2、非线性规划（约束和非约束）3、多目标规划4、组合优化与整数规划决策理论与方法-优化决策理论与方法线性规划—管理实例(食谱问题)假设市场上有n种不同的食物，第j种

4、食物的单价为cj。人体正常活动过程中需要m种基本的营养成分，且每人每天至少需要摄入第i种营养成分bi个单位。已知第j种食物中包含第i种营养成分的量为aij个单位。问在满足人体基本营养需求的前提下什么样的配食方案最经济？设食谱中包含第j种食物的量为xj，则：决策理论与方法-优化决策理论与方法线性规划—标准型决策理论与方法-优化决策理论与方法线性规划—单纯形算法解空间分析可行域分析：n维空间；第一象限；m个超平面。最优解分析：在端点(或称为极点。极点向量中，至少有n-m个0分量)处取极值。单纯形算法的基本思想从某个极点开始获得一个可行解；判断该

5、可行解是不是目标解。若是，算法结束；否则寻找下一个极点（确定入基变量和出基变量），直至找到目标解。决策理论与方法-优化决策理论与方法线性规划—内点算法1972年，V.Klee和G.L.Minty指出Dantzig的单纯形算法的迭代次数为O(2n)，是一个指数时间算法，不是优良算法。那么是否存在求解线性规划问题的多项式时间算法？1984年，N.Karmarkar提出了一种投影尺度算法，其计算效果能够同单纯形法相比较，掀起了线性规划内点算法的热潮。决策理论与方法-优化决策理论与方法线性规划—内点算法内点算法的思想已知线性规划问题的可行域是一个多

6、面体，最优点在多面体的某个极点取到。在给定初始可行解后，沿着什么样的路径到达最优解呢？单纯形法是从某个基可行解开始，沿着多面体的边移动最终找到最优解。内点算法的思想是从可行域内的任意一点(任一可行解)出发，穿越可行域的内部达到最优解。N.Karmarkar的投影尺度算法就是一种典型的内点算法。决策理论与方法-优化决策理论与方法线性规划—内点算法可行域内点初始基可行解基可行解目标函数目标函数最速下降方向决策理论与方法-优化决策理论与方法线性规划—内点算法投影尺度算法如何穿过可行域的内部快速达到最优解呢？Karmarkar发现：(1)如果一个内

7、点位于可行域(多胞形、多面体)的中心，那么目标函数的最速下降方向是比较好的方向；(2)存在一个适当的变换，能够将可行域中给定的内点置于变换后的可行域的中心。基于这两点，Karmarkar构造了一种称为投影尺度算法的内点算法。决策理论与方法-优化决策理论与方法线性规划—内点算法X空间内点目标函数目标函数最速下降方向Y1空间中心点投影尺度变换1目标函数最速下降方向Y2空间中心点投影尺度变换2决策理论与方法-优化决策理论与方法线性规划—Matlab函数应用OptimizationToolBoxMinfTxS.t.A·x≤bAeq·x=beqlb≤

8、x≤ub其中：f,x,b,beq,lb和ub均为向量；A和Aeq为矩阵。[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub)决策理论与方法-优化决策理论与方