2011年北大南大中科院数学分析考研试题

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1、北京大学2011年数学分析考研试题1.用确界存在定理证明：设是一个区间，如果是上的连续函数，则是一个区间2.设在在连续且可导，在上有界，不存在求证：存在数列，，，使得.3.设是一个区间，在上连续，如果可导.求证：也可导.4.构造两个以为周期的函数，使其Fourier级数在上一致收敛于.例如：，，5.求证：在上可积，其充要条件是在上可积6.设在其定义域中的某个点处各方向的方向导数都存在，且存在三个方向上的方向导数值相且不等于0，证明在该点处不可微.7.设为上的无界闭集，试构造一个连续函数，使它在一个由光滑曲线所围成的无界闭区域上的二重积分发散.8.设是一个凸区域，，在上有连续二

2、阶偏微分，其Jaccobi矩阵正定，求证：1）.是单射；2）.对任意，，有9.设,级数收敛，试证：存在.10.设在上连续且可导，且在上一致有界，并且点收敛于，，.试证：1）在上连续.2）在上一致收敛于.8、证明对，有，由于在所有点处正定，得，，有，故原结论成立.9.证明：利用几何-算数平均不等式得，于是，已知，由收敛，知，故有.10、Osgood定理。中科院研究生院2011年数分考研试题一．计算：1）计算;2）计算；3）证明极限存在并求值；二．设，求，.三．设在内有二阶导数，且，，.求证：对任意成立.四．设函数在上有界，在上可微.试问下列命题中哪个必定成立（说明理由），哪个不

3、成立（反例说明）.1）蕴涵；2）存在蕴涵.1）不对，反例，.2）对，可以给出证明，，，.五．过抛物线上的一点做切线，确定，使得该切线与另一抛物线所围成的图形面积最小并给出最小面积值.六．计算曲面积分：，其中C表示曲面与的交线.七．这函数列在区间上一致收敛，并且对每个，存在于相关的常数，使得，.求证：函数列在上一致有界，即存在常数，使得对所有及，有.八．设，，为非负数列，满足，求证：1）；2）若收敛，证明存在.三、证明：不妨设，则有，，，所以八．证明：1）由条件，知，得，，从而，，再由，得，于是成立。或者：由条件，知，得，，，，。2）由1）证明的方法，可知对任意整数成立，，从而

4、，，由于收敛，对任意，存在正整数，当时，对一切正整数都有于是，令得，再由的任意性的：.南京大学2011年数分考研试题一．设函数在区间上有定义，存在常数，，使得，，求证：.三．方程在点附近确定了函数，求四．设是上的单调递减非负函数，，.求证：极限存在.五．设二元函数定义在紧集上且有连续一阶偏导数，对，有.证明：在内同时满足的点有且只有两个.六．设在上二阶连续可导，且满足，试计算的值解：，，七．试讨论广义积分的敛散性，其中，，.解：与积分的敛散性相同令，，此时，用来割取有界闭区域计算积分，然后令，取极限可知：，最后的积分当时收敛，时发散，故原积分当且仅当时收敛.三．已知级数绝对收

5、敛，级数收敛，求证：级数收敛证明：证法一先证数列收敛.事实上,收敛,收敛.令,则数列收敛,故有界.设,于是由Abel变换,有,(或而,收敛.又数列和收敛,数列收敛,部分和数列收敛.证法二记，，，由于绝对收敛，，存在常数，使得，，，对任意，存在正整数，当时，对任意正整数，，，，故有收敛.三．设函数二阶连续可微，给定了一个光滑曲面，是所围区域，且在内，求积分.解：曲面上的单位外法向量为，由高斯公式，得：设，试证：极限存在且有极限，并计算.证明：证法一利用，其中为欧拉常数，得所以证法二于是是严格单调递增，且有上界的数列，收敛.九．设在上连续，试证明存在，使得证明：令显然在上连续，且

6、，，.由连续函数的介值定理，存在，使得，即.