《量子博弈论与人工智能》

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1、（一）量子博弈论——引言 量子博弈论应该算作是量子信息（或者说量子物理学）与博弈（对策）理论相结合 的产物。博弈论（在量子博弈出现之前，我们更愿意把它称为“经典”博弈论，即 非量子力学的，以示区别）或许应该看作是应用数学的一个分支，它研究的是相互 竞争和/或合作的博弈主体们的决策以及这些决策之间的相互作用的问题。博弈论 已经在经济学、政治学、军事、外交、国际关系、公共选择、犯罪学还有生物学的 许多方面得到了广泛的应用，并成为了现代经济学不可或缺的基石之一。 或许有人会觉得奇怪，像经济学等这样一些看上去明显是“经典”的

2、而非“量子” 的领域中，量子力学的基本规律（如量子叠加、量子相干性以及量子纠缠等等）会 起作用。然而，如果我们注意到所有博弈的一个共性以后，博弈论和量子物理之间 的联系就会变得明显而自然。实现这一联系的桥梁就是“信息”。一方面，在任何 一个博弈过程和现象中，当博弈的主体自己的决策“传递”给其它人、或者仲裁者 时，他们都是在交流信息，而且每一个博弈参与者都希望在给定的（物理）条件下 获取尽可能多的信息。另一方面，“信息”本身是“物理的”，这不仅仅是因为信 息的载体一定脱离不了具体的物理体系，而且更因为物理规律将极大的影响信

3、息的 传递和处理方式；特别是如今量子信息理论的飞速发展和巨大成就使得人们越来越 清晰地认识到这一事实并对它加以利用，形成了众多的新的交叉研究方向：如量子 计算、量子密码通讯等等。量子博弈论也是这一交叉的产物之一，它使得量子叠加 、甚至是量子纠缠这样一些独特的量子现象在博弈中成为可能，并引发了一系列新 颖并有价值的结果，极大地丰富了博弈理论本身。除此以外，量子博弈论还给现有 的量子计算和量子通讯等研究领域提供了新的研究方法和思维角度。许多量子过程 都可以看作是“博弈”：量子密码通信中，窃听过程也可以看成是窃听者和信息发 送

4、、接收者之间的“博弈”；量子计算可以看作是两个分别拥有经典算法和量子算 法的计算者在计算速度上的一场“竞争”；量子态克隆甚至也可以理解为“博弈” 。 当然，过早的期待量子博弈进入现实生活或许不太现实；然而这并不意味着量子博 弈论是纯粹的纸上谈兵。除了在前面提到的应用以外，在不算太远的将来我们可以 期待的众多可能性之一是，随着量子通讯的完善和实用化，建立一个基于量子力学 规律的市场，在那里所有的信息将由量子物理体系来承载，从而使得量子博弈成为 不可避免的。 （二）量子博弈论——博弈、均衡 在介绍量子博弈论之前，我们有

5、必要先回顾一下经典博弈论的基本概念。在量子博 弈论中这些基本的概念被保留，并且是我们分析问题的基础。 任何一个（经典）博弈可以通过如下几个要素来定义：（1）博弈的主体，或参与 者（Players）；（2）博弈中每个参与者可能采用的所有策略（Strategies），我 们称之为策略空间（StrategicSpace）；在每一次博弈中，所有参与人的策略的 集合成为一个策略组（StrategicProfile）（3）博弈的结果，量化的博弈结果实 际上就是所谓的“收益”（Payoffs）。显然，在大多数有意义的博弈中，单个参

6、与人的收益不仅仅与自己的策略有关，而且和其他所有的参与人的策略都密切相关 ，可以看成是所有参与人策略的某个函数。在这里，我们假定每个参与者都是最大 理性的，也就是说他们总能够采用正确的策略而从不犯错误。当然，如今博弈论的 发展已经能够处理研究非最大理性行为，但是要稍微复杂一些，我们把这一部分放 到后面讨论。 严格来说，上面定义的策略应该叫做“纯策略”，也就是说在每个参与人都确定的 使用了其策略空间中的某个特定的策略。然而，在许多可重复多次的博弈中，参与 人也许会在某一轮选择一个策略，而在另一轮中选择另一个策略；在这种情

7、况下， 我们称参与人采用了“混合策略”。用数学的语言描述，一个混合策略就是在策略 空间上的一个概率分布（即“纯策略”的概率混合），参与人在这多次重复的博弈 中所期望的平均收益显然将表达成为这些概率分布的函数而不再是某个特定的纯策 略的函数。 不论是经典的还是量子的博弈论中，最重要的概念莫过于“Nash均衡”。这里的 Nash便是在电影《美丽心灵》（AbeautifulMind）中的那个有点“神经兮兮”的 男主角^_^。由于Nash均衡的重要性以及对经济学产生的重要影响，他被授予1994 年的Nobel经济学奖。Nash

8、均衡这一概念的开创性在于它用方程刻画了“人类理性 ”这一原本让数学家们和经济学家们感到无从下手的东东，并在实际应用中获得了 巨大成功。 Nash均衡是一个具有如下性质的策略组：对于任何一个参与人而言，如果其他的参 与人都选择这个策略组中对应于自己的那个策略，那么这个参与人也只能选择这个 策略组中应于自己的那个策略才