高考数学题预测征题

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1、高考数学题预测征题例1如图1，过椭圆的左焦点F任作一条与两坐标轴都不垂直的弦AB，若点M在轴上，且使得MF为的一条内角平分线，则称点M为该椭圆的“左特征点”.（1）求椭圆的“左特征点”M的坐标；图1（2）试根据（1）中的结论猜测：椭圆的“左特征点”M是一个怎样的点？并证明你的结论.解析：（1）设为椭圆的左特征点，椭圆的左焦点为，可设直线的方程为.并将它代入得：，即.设，则，∵被轴平分，∴.即.即.∴.于是.∵，即.（2）对于椭圆.于是猜想：椭圆的“左特征点”是椭圆的左准线与轴的交点.证明：设椭圆的左准线与轴相交于M点，过A，B分别作的垂线，垂足分别

2、为C，D.据椭圆第二定义：∵于是即.∴，又均为锐角，∴，∴.∴的平分线.故M为椭圆的“左特征点”.点评：近年高考关于圆锥曲线的解答题常作为把关题或压轴题，综合考查考生在数形结合、等价转换、分类讨论、逻辑推理等诸方面的能力.本题背景新颖，而且考查了《考试大纲》所要求的研究性学习能力，是一道压轴题水平的综合能力题.图2例2如图2，已知过原点O，从轴正方向出发逆时针旋转240°，得到射线，点在射线上，设，又知点在射线上移动，设为第三象限内的动点，若且，，成等差数列.（1）求点的轨迹方程；（2）已知点的轨迹为C，直线的斜率为，若直线与曲线C有两个不同的交点

3、M，N，交线MN的中点为，求点的横坐标的取值范围.解析：（1）设，轴，.又，，则，，，，.，.由成等差数列得：.，即.点的轨迹方程为.（2）设直线的方程为，，，由得.如图3所示，图3当时，直线与圆相切，此时，注意到，则当时，与圆相切.结合图形得又，.即点的横坐标的取值范围为.点评：向量及其运算是新课程的新增内容，由于向量融数，形于一体，具有代数形式和几何形式的双重身份，使它成为中学数学知识的一个交汇点，成为联系多项内容的媒介.本题将向量与解析几何、数列、方程、不等式以及数形结合思想等有机结合，体现了《考试大纲》要求的“在知识网络交汇点处命题”的精神

4、，预测今年的向量高考题的难度可能上升到压轴题水平.例3图4如图4，在正四棱锥S－ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面内及其边界上运动，并且总是保持PEAC.（1）指出动点P的轨迹（即说明动点P在满足给定的条件下运动时所形成的图形），证明你的结论；（2）以轨迹上的动点P为顶点的三棱锥P－CDE的最大体积是正四棱锥S－ABCD体积的几分之几？（3）设动点P在G点的位置时三棱锥P－CDE的体积取最大值V1，二面角G－DE－C的大小为，二面角G－CE－D的大小为，求的值.图5（4）若将“E是BC的中点”改为“E是BC上异于B、C的一定点”，其它条件不变，

5、请指出点P的轨迹，证明你的结论.解析：（1）如图5，分别取CD、SC的中点F、G，连结EF、EG、FG、BD.设AC与BD的交点为O，连结SO，则动点P的轨迹是的中位线FG.由正四棱锥可得.又平面EFG，平面EFG，.（2）由于是定值，所以当P到平面CDE的距离最大时，最大，易知当P与G重合时，P到平面CDE的距离最大，故.又，G到平面ABCD的距离是点S到平面ABCD的距离的，.（3）令，EF与AC交于N点，连结GN，则GN平面ABCD.因此二面角G－DE－C和二面角G－CE－D的平面角的正切值的比就等于N到DE和CE的距离的倒数比.N是OC的中

6、点，N到BC的距离为.连结DE交OC于M，则M是的重心，.又，在中，容易求得N到DE的距离为.故.（4）动点P在侧面SCD内部及其边界上运动，且总保持，那么这些相交于定点E的直线系应位于某个与直线AC垂直的平面内，而由正四棱锥的性质可知，平面SBD，因此动直线PE集中在过E且平行于平面SBD的一个平面内.过E作E//SB，E//BD，分别交SC于，交CD于，则平面E//平面SBD，从而平面E，故点P的轨迹是线段.点评：本题全方位地考查了立体几何中的主要内容，如线面与线线的位置关系、体积问题、二面角问题等.在立体几何的问题中给出了探求点的轨迹问题，与

7、平面几何、解析几何紧密联系，体现了对综合运用知识的能力要求，考查的知识点丰富，具有相当的难度和深度，达到了压轴题的水平，是一道创新型试题.例4已知O是锐角三角形ABC的外心，的面积数依次成等差数列.（1）推算是否为定值？说明理由；（2）求证：也成等差数列.图6解析：如图6所示，设的外接圆半径为R，则，同理：.成等差数列，即.，，.又，故..又，.整理得.（1）因是锐角三角形，，可知，，故为定值.（2）.，即成等差数列.点评：这是一道探索性试题，它涉及到圆的性质、等差数列的性质、三角形的边角关系、三角形的面积公式、三角函数的恒等变形等知识.问题的关键

8、在于如何将面积关系转化为角、、的关系，转化的桥梁便是三角形的面积公式及正弦定理.