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1、比例线段（3）——“黄金分割”教学设计杭州萧山朝晖初中李卫星（311200）舟山南海实验初中张宏政（316021）1教材分析1.1教材所处地位黄金分割是浙教版义务教育课程标准实验教科书九年级上册第四章“相似三角形”第1节比例线段中第3课时的内容,它将从一个全新的角度加深学生对线段的比和比例线段的认识,是前面学习内容的延续与拓展,同时通过黄金分割在建筑、艺术等方面的应用,旨在让学生充分体验数学与自然及人类社会的密切关系,进一步丰富学生的数学活动经验,促进学生观察、分析、归纳、概况的能力与审美情趣的发展.因此,本课有着较高的数学文化价值.1.2学习目标①了解比例中项的概念,会求已知线段的比
2、例中项;②经历黄金分割的探究过程,理解黄金分割的概念并能进行简单的计算和作图;③在现实情境中体验黄金分割的美学价值,感受数学文化的熏陶.1.3学习重难点重点:黄金分割的概念难点:黄金分割的作图同时涉及线段的和差倍分关系,比较复杂,是本节教学的难点.2教学过程及策略2.1情境激趣,先行组织图1图2图3引言：通过欣赏上述三幅图片,大家会发现,不论是古今中外的宏大建筑,还是脍炙人口的艺术作品；不论是精美的生活物品,还是习以为常的动植物,它们都会使大家体验和谐之美.那么,若用数学的眼光观察,它们中间隐藏着怎样的数学规律呢.下面就借名画“迷人的蒙娜丽莎”来开始我们今天的探索之旅吧！2.1.1试一
3、试（图4）如图4,小明家有两张《蒙娜丽莎》的复印品（其中一张由于有破损,4被裁掉了一部分）,现要给它们各做一个画框,已知大的一张的长为9个单位,宽为6个单位,且小的一张的宽为4个单位.请判断两个矩形画框的长与宽这4条线段是否成比例.若成比例,则请写出比例式？（∵,,∴）问题1:上述比例式有什么特别之处吗？2.1.2理一理定义：一般地,如果三个数a、b、c满足比例式（或a:b＝b:c）,则b就叫做a,c的比例中项.（b2＝ac）2.1.3做一做①判断1是不是2与0.5的比例中项?如果是比例中项,请写出相应的比例式.②3与12的比例中项是多少？若线段a=3,b=12,则线段a,b的比例中项
4、又为多少？③数的比例中项与线段的比例中项有什么区别？[设计意图]比例中项概念是探究黄金分割概念的必备知识,这里通过试一试、理一理、做一做三个环节让学生经历比例中项概念的形成与应用过程,以便为下面黄金分割概念的抽象概况做好先行组织工作.2.2体验联系,引向新知2.2.1量一量如图5,用圆规任意作一个圆,以72°角平分圆心角,将圆弧5等分,连结间隔点就形成了一个正五角星,若P是AB与另一边的交点.请通过量一量、算一算,看看AP是否为AB与BP的比例中项？2.2.2理一理能否给上述比例关系取一个名字呢？教师简单介绍黄金分割的历史并引出概念.点P把线段AB分成两条线段AP和BP,若(或),那么
5、称线段AB被点P黄金分割,点P叫做线段AB的黄金分割点,AP与AB的比就叫做黄金比.问题2：一条线段有几个黄金分割点？一颗五角星中共有几个黄金分割点？2.2.3求一求ABP（图6）问题3：如图6,从刚才的测量计算中可以猜想黄金比应是一个常数,那么能否利用这三条线段之间的相互关系精确地求出这个黄金比呢？4引导学生可设AB=1,AP=x,则有,从而.2.2.4练一练①已知点C是线段AB的黄金分割点,且AC>CB,则下列等式成立的是（）A．AB2=AC•CBB．CB2=AC•AB（图7）C．AC2=CB•ABD．CB2=AC•AB或AC2=AB•BC②在第①题中,若AB=2,则AC=,BC=
6、.③如图7,鸟巢顶面呈鞍形,最高点高度为69m,最低点高度与最高点高度之比为黄金比,求鸟巢最低点高度约多少m？（精确到0.1m）[设计意图]本环节引导学生制作五角星,并通过测量、计算、推理发现了五角星和谐之美的奥秘,能让学生在亲身体验中,感受黄金分割概念在现实中的具体实例,实现从实例中归纳抽象的规定,并通过适当的变式练习进行概念的巩固；而介绍一些黄金分割的历史,则有助于学生体验概念历史的发生发展,加深对数学内涵与价值的认识.2.3欣赏运用,探究方法2.3.1赏一赏2.3.2用一用①据有关测定,当气温处于人体正常体温的黄金比值时,人体感到最舒适.因此夏天使用空调时室内温度调到什么温度最适
7、合？（人体正常体温是36℃～37℃）②若一名女老师的身高为164cm,下身长为100cm,那么老师穿多高的高跟鞋看上去会更协调美观？2.3.3找一找问题4：已知线段AB＝a,能否用直尺和圆规作出它的黄金分割点？分析：线段a的黄金分割所得的较长线段长应是a＝a－a,由于a是以a和a为直角边的斜边长.因此本题转化为作两条线段之差.[设计意图]“赏一赏”呼应了开始时的情境,4旨在深化学生对黄金分割在建筑、艺术等方面应用的认识,发展学生的审美意识；而“
