《矩估计的基本步骤》PPT课件

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1、矩估计的基本步骤设待估计的参数为设总体的r阶矩(r=1,2,…,k)存在，且(1)先找总体矩与参数之间的关系样本X1,X2,…,Xn的r阶矩为令(2)用样本矩替换总体矩,得到关于估计量的方程(组).——含的方程组.(3)解方程组,得到k个参数的矩估计量未知参数1,,k的矩估计量代入一组样本值得k个数:未知参数1,,k的矩估计值∵X1,X2,,Xn是独立同分布的,∴X1k,X2k,,Xnk也是独立同分布的.于是有E(X1k)=E(X2k)==E(Xnk)=E(Xk)=μk.根据辛钦大数定律,样本k阶矩Ak依概率收敛于总体k阶矩μk,即矩估计法的理论依据

2、:大数定律再由依概率收敛的性质知,样本k阶矩的函数依概率收敛于总体k阶矩的函数.(函数连续)参数θ的矩估计量依概率收敛于θ,即样本矩的函数总体矩的函数最大似然估计法的思想源于德国数学家高斯(Gauss)在1821年提出的误差理论.然而，这个方法常归功于英国统计学家费歇尔(R.A.Fisher).他在1922年将该方法作为估计方法提出，并首先研究了这种方法的一些性质.2.最大似然估计(MaximumLikelihoodEstimate)GaussFisher最大似然估计法的基本思想引例：某位同学与一位猎人一起外出打猎.一只野兔从前方窜过.只听一声枪响，野兔应声倒下.如果

3、要你推测，是谁打中的,你会如何想呢?只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率.看来这一枪是猎人射中的可能性很大.思想：一次试验就出现的事件有较大的概率.例5设总体X服从0-1分布,且P{X=1}=p(0

4、为所求p的最大似然估计值.似然函数的定义(1)离散型总体参数的最大似然估计最大似然估计法(2)连续型总体参数的最大似然估计似然函数的定义【注】最大似然估计法是在总体分布类型已知条件下使用的一种参数估计方法.解例6【注】这一估计量与矩估计量是相同的.求最大似然估计的基本步骤对数似然方程(在可微的情况下)最大似然估计法也适用于分布中含有多个未知参数的情况.此时只需令对数似然方程组解X的似然函数为例7【结论】正态总体的两个参数的最大似然估计与相应的矩估计相同.【注】若L不是的可微函数或者似然方程无解,则遵循最大似然估计的思想用其它方法求估计值.(解析见教材P155.)例8值

5、.【说明】若(L关于严格单增),则在可能的取值范围内取最大值作为该参数的最大似然估计;若(L关于严格单减),则在可能的取值范围内取最小值作为该参数的最大似然估计;【注】同一个未知参数的矩估计量和最大似然估计量不一定一样(如正态分布的完全一样,而均匀分布的就不一样).例9设总体X的分布律为其中为未知参数.今对X进行观测，得如下样本值0，1，2，0，2，1.求的最大似然估计值.解析例10设(1/2,1/3,2/3)是总体X的一个样本的观测值其中>0为未知参数.求的最大似然估计值.解析最大似然估计的性质该性质也称作最大似然估计的不变性.若是未知参数的最大似然估计，

6、g()是的严格单调函数，则g()的最大似然估计为g().如例7中,量量例11设总体为样本值,求a的最大似然估计.解析首先找到a与的关系.由知查表得由例7得到则由最大似然估计的不变性,得a的最大似然估计量和估计值分别为【评注】求总体分布中的未知参数的最大似然估计,必须知道总体的分布,从而写出样本似然函数(或对数似然函数),并求其最大值点是解题的关键.另外,最大似然估计也可能不存在,也可能不唯一.优点:充分利用总体分布的信息,克服了矩估计法的某些不足.作业:P173习题2,3,4(1),6,7,8(1).从前一节可以看到,对于同一个参数,用不同的估计方法求出的估计量

7、可能不相同.很明显,原则上任何统计量都可以作为未知参数的估计量.问题(1)对于同一个参数究竟采用哪一个估计量好?(2)评价估计量的标准是什么?7.3估计量的评选标准常用标准①无偏性③相合性②有效性问题的提出估计量的观察或试验的结果，估计值可能较真实的参数值偏大或偏小，而一个好的估计量不应总是偏大或偏小，在多次试验中所得的估计量的平均值应与真实参数值吻合，这就是无偏性所要求的.是一个随机变量，对一次具体一、无偏性定义∧例1证特别的,证(这种方法称为无偏化).例3证由以上两例可知,一个参数可以有不同的无偏估计量.思考:当是的无偏估计时,是否也为的无偏估计