2016-2017学年人教a版选修2-1___2.4.2__抛物线的简单几何性质学案1

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1、2．4.2　抛物线的简单几何性质一只很小的灯泡发出的光，会分散地射向各方，但把它装在圆柱形的手电筒里，经过适当调节，就能射出一束比较强的平行光线，这是为什么呢？原来手电筒内，在小灯泡后面有一个反光镜，镜面的形状是一个由抛物线绕轴旋转所得到的曲面，叫做抛物面．人们已经证明，抛物线有一条很重要的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．探照灯就是利用这个原理设计的．问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个焦点．问题2：有人说“抛物线是双曲线的一支”，这句话对吗？提示：不对．问题3：抛物线有渐近线吗？提示：没有．1．抛物线的简单几何性质类型y2＝2px(p

2、＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点F(，0)F(－，0)F(0，)F(0，－)准线x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Rx∈R，y≥0x∈R，y≤0对称轴x轴y轴顶点O(0,0)离心率e＝1开口方向向右向左向上向下2．焦半径与焦点弦抛物线上一点与焦点F的连线段叫做焦半径，过焦点的直线与抛物线相交所得弦叫做焦点弦．设抛物线上任意一点P(x0，y0)，焦点弦端点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则四种标准形式下的焦点弦和焦半径公式如下表：标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x

3、2＝－2py(p＞0)焦半径

4、PF

5、

6、PF

7、＝x0＋

8、PF

9、＝－x0

10、PF

11、＝y0＋

12、PF

13、＝－y0焦点弦

14、AB

15、

16、AB

17、＝x1＋x2＋p

18、AB

19、＝p－x1－x2

20、AB

21、＝y1＋y2＋p

22、AB

23、＝p－y1－y21．抛物线只位于半个坐标平面内，虽然它可以无限延伸，但它没有渐近线．2．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心．3．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线，这与椭圆、双曲线不同．4．抛物线的离心率e＝1(定值)．5．抛物线方程中的参数p的几何意义是焦点到准线的距离．由方程y2＝2px(p≠0)知，对同一个x，p越大，

24、y

25、也越大，说明抛物线开口越大．6．抛物线与双曲线都是“开放

26、型”曲线，但抛物线不能看成是双曲线的一支．第一课时　抛物线的简单几何性质求抛物线的标准方程及其几何性质[例1]　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程．[思路点拨]　解答本题可先确定椭圆的短轴，从而确定抛物线的焦点位置，再写出标准方程即可．[精解详析]　椭圆的方程可化为＋＝1，其短轴在x轴上，∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)．∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，即＝3，∴p＝6，∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为

27、x＝－3和x＝3.[一点通]　用待定系数法求抛物线方程的步骤：1．顶点在原点，对称轴是y轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程是(　　)A．x2＝±3y　　　　　　　B．y2＝±6xC．x2＝±12yD．x2＝±6y解析：依题意知抛物线方程为x2＝±2py(p>0)的形式，又＝3，∴p＝6,2p＝12，故方程为x2＝±12y.答案：C2．平面直角坐标系xOy中，有一定点A(2,1)，若线段OA的垂直平分线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点，则该抛物线的标准方程是________．解析：线段OA的垂直平分线为4x＋2y－5＝0，与x轴的交点为(，0)，∴抛物线的焦点为(

28、，0)，∴其标准方程是y2＝5x.答案：y2＝5x抛物线几何性质的应用[例2]　正三角形的一个顶点位于坐标原点，另外两个顶点在抛物线y2＝2px(p>0)上，求这个正三角形的边长．[思路点拨]　先证明x轴是它们的公共对称轴，再求三角形边长．[精解详析]　如图所示，设正三角形OAB的顶点A，B在抛物线上，且坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y＝2px1，y＝2px2.又OA＝OB，所以x＋y＝x＋y，即x－x＋2px1－2px2＝0，整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.∵x1>0，x2>0,2p>0，∴x1＝x2，由此可得

29、y1

30、＝

31、y2

32、，即线段AB关于x

33、轴对称．由此得∠AOx＝30°，所以y1＝x1，与y＝2px1联立，解得y1＝2p.∴

34、AB

35、＝2y1＝4p.[一点通]　抛物线的几何性质在解与抛物线有关的问题时具有广泛的应用，但是在解题的过程中又容易忽视这些隐含的条件．解本题的关键是根据抛物线的对称性和正三角形的性质证明A，B两点关于x轴对称．另外，抛物线方程中变量x，y的范围也是常用的几何性质．3．若双曲线－＝1(p>0)的左焦点在抛物线y2＝2px的准线上，则p的值为(　　)A．2B．3C．4D．4解析：双曲线的方程可化为