第十二章 12.2 三角形全等的判定例题与讲解 新人教版

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1、12.2　三角形全等的判定1．三角形全等的判定方法一：边边边(SSS)(1)边边边：三边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边边边”或“SSS”)．这个判定方法告诉我们：当三角形的三边确定后，其形状、大小也就随之确定，这就是三角形的稳定性，它在实际生活中应用非常广泛．(2)书写格式：①先写出所要判定的两个三角形；②列出条件：用大括号将两个三角形中相等的边分别写出；③得出结论：两个三角形全等．如下图，在△ABC和△A′B′C′中，∵∴△ABC≌△A′B′C′(SSS)．警误区书写判定两个三角形全等的条件　在书写全等的过程中，等号左边表示同一个

2、三角形的量，等号右边表示另一个三角形的量．如上图，等号左边表示△ABC的量，等号右边表示△A′B′C′的量．符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”，在以后的推理中，这样书写简捷、方便．要注意它们的区别．(3)作一个角等于已知角．已知：∠AOB.求作：∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB.作法：如上图所示，①以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与上一步中所画的弧交于点D′；④过点D′画射线O′B′，则

3、∠A′O′B′＝∠AOB.【例1】如图所示，已知AB＝DC，AC＝DB，求证：△ABC≌△DCB.分析：已知两边对应相等，由图形可知BC为两个三角形的公共边，所以△ABC≌△DCB(SSS)．证明：在△ABC和△DCB中，∵∴△ABC≌△DCB(SSS)．2．三角形全等的判定方法二：边角边(SAS)(1)边角边：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等(可以简写成“边角边”或“SAS”)．(2)书写格式：如下图，在△ABC和△A′B′C′中，∴∴△ABC≌△A′B′C′(SAS)．警误区不能用“SSA”判定三角形全等　有两边及其一边的对角对应

4、相等的两个三角形不一定全等，即不能用“SSA”作为三角形全等的判定．如图，在△ABC和△ABD中，AB=AB，AC=AD两条边对应相等，并且边AC，AD所对的角∠B=∠B，很显然，△ABC和△ABD不全等．(3)注意：①在“边角边”这个判定方法中，包含了边和角两种元素，且角是两边的夹角，而不是其中一边的对角．②为了避免“SAS”与“SSA”(两边不夹角)混淆，在应用该方法时，要观察图形确定三个条件，按“边→角→边”的顺序排列，并按此顺序书写．【例2】如图，两个透明三角形纸片叠放到桌面上，已知∠ACE＝∠FCB，AC＝EC，BC＝FC，则△AB

5、C与△EFC全等吗？请说明理由．解：△ABC≌△EFC.理由：∵∠ACE＝∠FCB，∴∠ACE＋∠ECB＝∠FCB＋∠ECB，即∠ACB＝∠ECF.在△ABC和△EFC中，∵∴△ABC≌△EFC(SAS)．3．三角形全等的判定方法三、四：角边角(ASA)及角角边(AAS)(1)角边角：①内容：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角边角”或“ASA”)．②书写格式：如图，在△ABC和△A′B′C′中，∵∴△ABC≌△A′B′C′(ASA)．(2)角角边：①内容：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等(可以简写成“角角

6、边”或“AAS”)．②书写格式：如下图，在△ABC和△A′B′C′中，∵∴△ABC≌△A′B′C′(AAS)．(3)“角边角”与“角角边”的关系：由三角形的内角和定理知，只要两个三角形的两个角对应相等，则其第三个角也对应相等，所以两角及一边对应相等的两个三角形一定全等．无论这一边是“对边”还是“夹边”，只要对应相等即可判定两个三角形全等．(4)注意：①在运用“ASA”时，要从图形上确定是按“角→边→角”的顺序排列条件；②在运用“AAS”时，要从图形上确定是按“角→角→边”的顺序排列条件．警误区不能用“AAA”判定三角形全等有三个角对应相等的两

7、个三角形不一定全等，即不能用“AAA”作为三角形全等的判定．如下图，在△ABC和△A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，很显然，△ABC和△A′B′C′不全等．【例3】(一题多证)已知，如图，D是△ABC的边AB上一点，AB∥FC，DF交AC于点E，DE＝EF.求证：AE＝CE.证法一：∵AB∥FC，∴∠ADE＝∠F.在△ADE和△CFE中，∵∴△ADE≌△CFE(ASA)．∴AE＝CE.证法二：∵AB∥FC，∴∠A＝∠ECF，∠ADE＝∠F.在△ADE和△CFE中，∵∴△ADE≌△CFE(AAS)．∴AE＝CE.4．直角

8、三角形全等的判定方法：斜边、直角边(HL)(1)内容：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)．(2)书写格式：如下图，