固体物理 电子教案 3.7晶格的非简谐效应

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1、第七节晶体的非简谐效应3.7.1热膨胀本节主要内容:3.7.2热传导3.7.3晶体的状态方程和热膨胀§3.7晶体的非简谐效应简谐近似：(1)在简谐近似的情况下，晶格原子振动可描述为3N个线性独立的谐振子的迭加，各振子间不发生作用，也不交换能量；(2)晶体中某种声子一旦产生，其数目就一直保持不变，既不能把能量传递给其他声子，也不能使自己处于热平衡状态。用简谐近似理论不能解释晶体的热膨胀和热传导现象。晶体的非简谐效应：微扰项声子间有相互作用能量交换系统达到热平衡两个声子通过非简谐项的作用，而产生第三

2、个声子。这可以看成是两个声子的相互碰撞，最后产生第三个声子。微扰项声子间的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒碰撞前后系统准动量不变，对热流无影响。---正常过程(N过程)；(1)---反常过程(U过程)。(2)3.7.1热膨胀热膨胀：在不施加压力的情况下，晶体体积随温度变化的现象称为热膨胀。假设有两个原子，一个在原点固定不动，另一个在平衡位置R0附近作振动，离开平衡位置的位移用表示，势能在平衡位置附近展开：01.物理图象R0R0（1）简谐近似RU(r)R0两原子间距不变，无热膨胀现象（2）非简谐

3、效应两原子间距增大，有热膨胀现象。由玻尔兹曼统计，原子离开平衡位置的平均位移2.理论计算(c、g均为正常数。)(1)简谐近似：是的奇函数在简谐近似下无热膨胀现象。(2)非简谐效应:在非简谐效应下，有热膨胀现象。推导略线膨胀系数当势能只保留到3次方项时，线膨胀系数与温度无关。若保留更高次项，则线膨胀系数与温度有关。显然，在简谐近似下，g=0，=0。3.7.2热传导当晶体中温度不均匀时，将会有热能从高温处流向低温处，直至各处温度相等达到新的热平衡,这种现象称为热传导。(为正值)为热传导系数或热导

4、率。负号表明热能传输总是从高温区流向低温区。晶体热传导电子热导晶格热导电子运动导热(金属)格波的传播导热(绝缘体、半导体)(1)气体热传导CV单位体积热容---平均自由程热运动平均速度放能吸能高温区低温区气体分子碰撞碰撞1.微观解释(2)晶格热传导晶格热振动看成是“声子气体”，声子数密度大声子数密度小扩散低温区高温区CV单位体积热容---声子自由程声子平均速度(常取固体中声速)2.讨论与T的关系1)高温时，T>>DCV单位体积热容，---声子自由程，声子平均速度(常取固体中声速)。基本

5、与温度无关，Cv和与温度密切相关(2)低温时，T<<D因为在实际晶体中存在杂质和缺陷，声子的平均自由程不会非常大。对于完整的晶体，(D为晶体线度)。实际上热导系数并不会趋向无穷大。低温时：3.7.3晶体的状态方程和热膨胀由热力学知，压强P、熵S、定容比热CV和自由能F之间的关系为：自由能F(T，V)是最基本的物理量,求出F(T，V)，其他热力学量或性质就可以由热力学关系导出。1.晶体的状态方程晶格自由能F1=U(V)F2由统计物理知道：Z是晶格振动的配分函数。频率为i的格波，配分函数为：由

6、晶格振动决定T=0时晶格的结合能若能求出晶格振动的配分函数，即可求得热振动自由能。忽略晶格之间的相互作用能，总配分函数为：由于非线性振动，格波频率i也是宏观量V的函数，所以式中表示频率为i的格波在温度T时的平均能量，而是与晶格的非线性振动有关与i无关的常数，称为格林艾森数。为晶格振动总能量。对于大多数固体，体积的变化不大，因此可将在晶体的平衡体积V0附近展开:若只取一次方项，则晶体的状态方程(格林艾森方程)2.由状态方程讨论晶体的热膨胀其中K是体积弹性模量。热膨胀是在不施加压力的情况下

7、，体积随温度的变化。上式两边对温度T求导得：上式等号右边第二项是非常小的量可略去，所以格林艾森定律。（1）热膨胀系数与格林艾森数成正比。对于简谐近似，=0，无热膨胀现象。热膨胀是非简谐效应，可作为检验非简谐效应大小的尺度，同样也可用作检验非简谐效应的尺度。实验测定，对大多数晶体，值一般在1～3范围内。（2）热膨胀与热振动成正比，所以热膨胀系数与晶体热容量成正比。