同济大学朱慈勉-结构力学第10章-结构动力学

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1、§10-1概述在任意动力荷载下分析给定结构的动力响应。动力荷载动力响应结构动力响应与结构动力特性有关。动力特性大小、方向和位置随时间变化。动位移和动内力，是时间的函数，动态的。自振频率，振型和阻尼结构动力分析的目的荷载关于时间的变化是已知的。分析过程：第1阶段:位移时间历史第2阶段:应力、应变及内力荷载的关于时间的变化不完全已知。可以用统计学定义(称为：随机动力荷载).（如何求？）确定性分析:不确定性分析：已知荷载的类型非周期荷载:建筑物上的偏心电机tF内燃机连杆tF爆破tF地震tF周期荷载:任意复杂周期荷载可以用傅里叶级

2、数展开为简谐荷载简谐荷载复杂荷载（动力）自由度：确定体系上全部质量位置所需的独立参数的数目一般问题：质量连续分布，时间连续，适宜用偏微分方程描述。时间和位置是独立变量。质量连续分布：无限自由度惯性力F(t)§10-2体系振动的自由度质量连续分布1个自由度2个自由度3个自由度6个自由度无限自由度§10-2-1集中质量法惯性力F(t)fI1fI2fI33个集中质量，仅沿竖向位移，3个自由度再加上3个旋转自由度:6个自由度惯性力F(t)3个自由度2个自由度1个自由度忽略楼板变形4个自由度2个自由度xy忽略杆件轴向变形2个自由度§

3、10-2-2广义位移xyxyLa是广义坐标，1个自由度a1,a2是广义坐标，2个自由度a是广义坐标，1个自由度挠曲形状用位移函数表示，其中的独立参数为广义坐标Lx满足约束条件的一组函数广义坐标n自由度有限元方法应用于所有结构类型:框架，平面问题，板，壳，一般3维问题x插值函数（形函数）有限元方法适用范围最广§10-3单自由度体系运动方程的建立kcmF(t)kc阻尼力弹性恢复力粘滞阻尼系数弹簧刚度系数惯性力动力荷载mFp(t)y(t)F(t)y(t)y§10-3-1刚度法Fp(t)Fp(t)lllmDBCAy例1§10-3-

4、2柔度法例2l/2l/2l/2mABCyl/2例3mABCyl/4l/2l/2l/2l/2例4－柔度法2llEIm例4－刚度法Fp(t)l/2l/2l/2Fp(t)ABCDC§10-3-3虚功法例4mABClll/2cml/2l/2l/2支座扰动的影响cmk/2k/2等效支撑扰动荷载§10-4单自由度体系的自由振动无动力作用无阻尼c=0由初始条件确定圆频率，自振频率(naturalfrequency)周期工程频率§10-4-1无阻尼自由振动初始相位角幅值(Amplitude)例1lBAlmk1mk2Fp＝1计算自振频率例4

5、.2mEIEI2EImmmh计算自振频率柱侧移刚度EIEI2EI§10-4-2有阻尼自由振动对于有阻尼的单自由度体系特征方程：（3-2）自由振动方程：∵则：随着根号中值的符号的不同，这个表达式可以描述临界阻尼、低阻尼和超阻尼三种体系的运动型式。本课程只讲临界阻尼和低阻尼两种情况。1.临界阻尼当根式中的值为零时，对应的阻尼值称为临界阻尼，记作cc。显然，应有cc/2m=w，即：特征方程：这时，对应的s值为：（3-2）自由振动方程：临界阻尼自由振动方程的解为：（3-15）（3-16）由初始条件：得到临界阻尼体系反应的最终形式：

6、临界阻尼位移解：临界阻尼体系反应不是简谐振动，体系的位移反应从开始时的，依照指数规律衰减，回复到零点。临界阻尼的物理意义是：在自由振动反应中不出现震荡所需要的最小阻尼值。速度（3-16）2.低阻尼特征方程：（3-2）自由振动方程：如果体系的阻尼比临界阻尼小，则显然有c/2m

7、力反应的最终形式：（3-18）写成矢量表达式：运动的振幅（矢量的模）和初相位分别为：（3-20）低阻尼体系动力反应：物理意义：低阻尼体系的自由振动具有不变的圆频率wd，并围绕中心位置振荡，而其振幅则随时间呈指数e-xwt衰减。如果反应的时间足够长，最终会衰减到零。确定体系阻尼比的一种方法体系的阻尼比可以通过测试体系运动的衰减规律得到：阻尼体系动力反应：体系从任一时刻经几个周期后的振幅比为：取对数后：（3-21）阻尼比：体系阻尼的测试：2）计算阻尼比：确定结构体系阻尼的其它方法。1）实测体系经过个周期后的位移幅值比：3）计算

8、阻尼系数：计算图示刚架的阻尼系数已知：柱子无重,h=3m,刚性横梁m=5000kg初位移25mm经5个周期后测得位移7.12mm[解]确定:ytk=yt0=25mm,yt5=7.12mm,计算阻尼比:计算阻尼系数：单自由度体系受迫振动单自由度受迫振动体系的运动方程：二阶常系数非齐次微分方程。全解由通解和