量子力学导论Chap6-3new

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1、1、势场2、径向方程、边界条件和解相对运动的径向方程为：§6.4三维各向同性谐振子采用自然单位，令两个孤立奇点：r=0和。(1)在r=0的领域，解的渐近行为:Rl(r)~rl(2)在r的领域，径向方程近似为:其解为：Rl(r)=exp(r2/2)或exp(-r2/2)，前者不符合物理要求，舍去。在r0，只能取Rl(r)~exp(-r2/2)因此，径向方程的解可以写为代入径向方程后，得到关于u(r)的二阶导数方程再令=r2，得关于u()的合流超几何方程，其中合流超几何方程的解为合流超几何函数：但当时，F(,,)~e将变为无穷大，不

2、满足束缚态边界条件要求径向波函数在无穷远处取有限值。因此，F(,,)必须中断为多项式，要求=0或负整数，导出能量本征值En。最终，再令N=2nr+l，得到能量本征值En谐振子能量自然单位对应的体系径向波函数：谐振子特征长度自然单位nr其实是径向波函数的节点数，不包括(r=0和)讨论：1、能级与简并度：能级分布(出发点EN=(N+3/2)ћ,N=2nr+l=0,1,2…)76543210N17/2363p,2f,1h,0j15/2283s,2d,1g,0i13/2212p,1f,0h11/2152s,1d,0g9/2101p,0f7/261s,

3、0d5/230p3/210sEN(ћ)fNnrl简并度：与一维谐振子一样，三维谐振子的能级分布也是均匀的，间隔为ћ。主量子数N给定，能量本征值EN就给定。但N=2nr+l，于是，l=N-2nr＝N,N-2,N-4,…,1(奇数N)或者l=N-2nr＝N,N-2,N-4,…,0(偶数N)对于给定的EN，简并度（以N为奇数为例当N为偶数时，fN的表达式相同。三维各向同性谐振子也是一种高度简并的体系。2、直角坐标系中求解由于，三维各向同性谐振子可以分解成3个彼此独立的一维线性谐振子。体系的哈密顿量可以分解为三个方向的分量之和，即H＝Hx+Hy+Hz体系波函

4、数分量变量求解相应本征能量值为能级简并度fN：由于N＝nx＋ny＋nz，先让nx作取值之选择nx＝0，1，2，…，N－1，N则，ny＋nz＝N，N-1,N-2,…,1,0所以，(ny,nz)的可能N＋1,N,N-1,…,2,1组合数目最终，(nx,ny,nz)的组合数目，即能级简并度