《系统的数学模型》PPT课件

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1、第二章系统的数学模型系统的数学模型:描述系统输入输出关系的数学表达式。本章主要内容1)线性微分方程式的建立及微分方程线性化的方法2)拉普拉斯变换及传递函数概念3)系统方块图和信号流程图的概念第一节引言一、系统的数学模型数学模型就是系统的输出与输入间的数学表达式。分为静态模型和动态模型。静态模型:在静态条件下得到的方程。一般用代数方程来表示。动态模型:在动态条件下得到的方程。一般用微分方程式来描述。工程上常用的数学模型包括微分方程、传递函数和状态方程,微分方程是基本的数学模型,是列写传递函数的基础。理论分析可以大致确定数学模型的阶次、参数与结构试验法可以最终确定数学模型的形式。两种

2、方法是相辅相成的。从理论上建立系统的数学模型,常称为理论建模。系统数学模型获取方法二、线性系统如果系统的数学模型是线性的,这种系统称为线性系统。一个系统,无论是用代数方程还是用微分方程来描述,其组成项的最高指数称为方程的次数。一次微分方程叫做线性微分方程;除此以外非一次的微分方程称为非线性微分方程。微分方程中,无论是因变量或者是它的导数,都不高于一次方,并且没有一项是因变量与其导数之积,则此微分方程就是线性微分方程。用这种方程描述的系统称为线性系统。下列微分方程描述的系统为线性系统。下列微分方程描述的系统为非线性系统。线性系统最重要的特性,就是叠加原理。若系统在输入x1(t)作用

3、下的输出为y1(t),而在另一个输入x2(t)作用下的输出为y2(t),并记为x1(t)→y1(t)x2(t)→y2(t)则以下关系x1(t)+x2(t)→y1(t)+y2(t)称为叠加性或叠加原理叠加原理说明,两个不同的输入函数,同时作用于系统的响应(输出),等于两个输入函数单独作用的响应之和。因此,线性系统对几个输入量的响应,可以一个一个的处理,然后对它们的响应结果进行叠加。线性系统的叠加性三、非线性系统用非线性方程表示的系统,叫做非线性系统。虽然许多物理关系常以线性方程来表示,但是在大多数情况下,实际的关系并非是真正线性的。即使对所谓的线性系统来说,也只是在一定的工作范围内

4、或忽略去那些影响较小的非线性因素所引起的误差,工程上又允许的话,这一系统就可以作为线性系统来处理。当输入信号较小而工作在线性区时,可看作线性元件;当输入信号较大而工作在饱和区时,就必须作为非线性元件来处理。饱和非线性当输入信号在一定范围内变化时,具有饱和特性的环节其输入输出呈线性关系;当输入信号x的绝对值超出其线性范围后,输出信号不再随输入信号变化而保持在一常值上。具有饱和特性的元件如放大器、调节器等。只有当输入信号幅值大于某一数值时才有输出,且与输入呈线性关系。例如各种测量元件的不灵敏区,调节器和执行机构的死区,以及弹簧预紧力等。当死区很小时,或对系统的性能不会产生不良影响时,

5、可将它作为线性特性处理;当死区较大时,将使系统静态误差增加,有时还会造成系统低速不平滑性。死区非线性死区特性又称不灵敏特性,图中横坐标为输入,纵坐标为输出。当输入信号在零附近变化时,系统输出为零。间隙非线性传动机构的间隙也是控制系统中一种常见的非线性特性现象。在机械传动中,由于加工精度的限制及运动件相互配合的需要,总会有一定的间隙存在。例如齿轮传动,为保证转动灵活不发生卡死现象,必须容许有少量间隙。由于间隙的存在,当机构做反向运动时,主动齿轮(其转角为输入信号x(t))总要转过间隙量2x的空行程后才能推动从动齿轮(其转角为输出信号y(t))转动,形成如图所示的环状间隙特性。在机械

6、传动中,摩擦是必然存在的物理因素。例如执行机构由静止状态启动,必须克服机构中的静摩擦力矩y1。启动之后,又要克服机构中的动摩擦力矩y2。一般静摩擦力矩大于动摩擦力矩。如图所示。摩擦间隙非线性非线性系统不能应用叠加原理。因此,对包含有非线性系统的问题求解,非常复杂。为了绕过由非线性系统而造成的数学上的难关,常需引入“等效”线性系统来代替非线性系统。如饱和非线性和死区非线性。这种等效线性系统,仅在一定的工作范围内是正确的。非本质非线性:没有间断点、折断点的非线性,可用线性化处理的数学模型。“等效”线性系统本质非线性:有间断点、折断点的非线性,只能用非线性理论去解决。第二节线性微分方程

7、式的建立一、建立线性微分方程式的步骤1、首先将系统划分为若干个环节,确定每一环节的输入信号和输出信号。确定输入信号和输出信号时,应使前一环节的输出信号是后一环节的输入信号。2、写出每一环节(或元件)输出信号和输入信号相互关系的运动方程式,找出联系输出量与输入量的内部关系,并确定反映这种内在联系的物理规律。而这些物理定律的数学表达式就是环节(或元件)的原始方程式。在此同时再做一些数学上的处理,如非线性函数的线性化,忽略一些次要因素等。3.消去中间变量,列出各变量间的关系式。最后得到

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