《数图》第6章小波变换

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1、数字图像处理基础DigitalImageProcessing第六章小波变换1DigitalImageProcessing小波（wavelete）变换：上一世纪80年代以来发展起来的一种局部化时频域分析方法，具有傅立叶变换、Gabor变换等所不具备的优良特性：如多尺度分解性、时频联合分析、方向选择、对象的自适应性等。以多尺度分解为核心特性，和人的视觉特性十分相似。主要内容：从傅里叶变换、短时傅里叶变换到小波变换的演变；信号空间理论和多分辨率分析理论；三种基本方式：连续小波变换(CWT)、小波级数展开和离散小波变换(DWT)；将一维小波变换推

2、广到二维；小波变换在图像处理中的几种应用。2DigitalImageProcessing第1节从傅立叶变换到小波变换（1）傅立叶变换的局限1）傅立叶积分变换：对连续非周期函数f(x)(6.1)(6.2)2）傅立叶级数展开：对连续周期为L的函数f(t)(6.3)(6.4)3）离散傅立叶变换：对周期为N的离散序列函数f(n)(6.5)(6.6)傅立叶变换是一种映射，将时域信号映射到频域，形成傅立叶频谱，确立了信号波形f(t)和信号频谱F(ω)之间的严格对应关系，有可能将时域内难以显现的特征在频域中十分清楚地凸显出来。频域ω离散化，频域积分换为

3、求和运算，时域积分换为求和运算，时域离散化，3DigitalImageProcessing傅立叶变换的不足之处：1）时频分离傅立叶变换的f(t)与F(ω)间的彼此相对独立，没有将时、频信息组合在一个域：频谱函数F(ω)中任意一个频率分量是全体时域函数f(t)的积分贡献，时域函数f(t)中任意一个时间分量是全体频谱函数F(ω)的积分贡献。在频谱中不容易得到它的时间信息，在时域波形中不容易得到它的频谱信息。2）基函数非紧支在线性变换中，变换系数＝，表示f(t)和h(t)的相似程度。在傅立叶变换的基函数为复正弦波曲线，从+

4、∞到-∞，非紧支集（notcompact）；不能有效地表示局部的、短暂的时变语音信号、图像信号、地震信号等。4DigitalImageProcessing(2）时频分析为克服傅立叶时频分析相对独立性的缺陷，在傅立叶变换中加上宽度较窄的“窗函数”，如Hanning窗、Gabor窗等。随着时间窗的移动，频域出现的是这一窗内信号的频率分量，傅立叶频域自然就带上了时间信息，形成了时间和频率的二维表示。频率时间图6.2五线谱的时频表示音乐五线谱表示，一个生动的时频变化信号。5DigitalImageProcessing时频分析示例t1t2t时窗低频

5、分量多时窗高频分量多f(t)F(ω)ωΔω1Δω2Δt2Δt10对应t1时窗图6.1傅立叶时频分析示意图对应t2时窗6DigitalImageProcessing（3）Gabor变换可移动的窗函数g(t-τ)和信号f(t)相乘，得到加窗后信号的傅立叶频谱。(6.7)窗口函数g(t)有多种选择，如选高斯函数，则为Gabor变换，信号f(t)的Gabor变换实际上是f(t)g(t-τ)的傅立叶变换：(6.8)Gabor反变换：(6.9)2Δttg(t)2ΔωωG(ω)图6.3Gabor窗口函数的时域和频域波形信号的Gabor变换：实际上是f(

6、t)中以τ为中心、宽度为2Δt的局部时间内的频谱特性，窗口宽度2Δt决定了Gabor变换的时间分辨率；窗口频宽2Δω决定了Gabor变换的频域分辨率。Gabor变换特性:通过窗函数可以反映信号在任意局部范围内的频域特性。Gabor变换中：信号的时间分辨率和频率分辨率，它是由窗口函数决定的，一旦窗函数选定，其时窗宽度Δt和频窗宽度Δω就已确定，既不随时间移动τ改变，也不随频率ω高低而改变。8DigitalImageProcessing（4）时宽与频宽在时频分析中，希望增强时域和频域的局部分析能力，即Δt和Δω尽量小。但选定了固定的窗函数后，

7、Gabor分析受到Heisenberg测不准原理限制：(6.10)固定时窗限制了频窗变窄，在整个时频面上，时窗和频窗的宽度不变。要克服这一限制，做到自适应改变可移动的窗函数的宽度：分析高频信号时，时域变化剧烈，可采用窄时窗，频域窗口较宽，提高频域分辨力；分析低频信号时，时域变化缓慢，可采用宽时窗，频域窗口较宽，提高时域分辨力。这样的思路，实际上就是引起小波变换的最基本的动因。9DigitalImageProcessing（5）小波变换(WaveletTransform)用“小波”（小波基）替代傅立叶变换的“大波”（正弦基）。小波基函数种类

8、多，有频率的变化，有位置的变化，适应各种瞬时信号。小波的两个特征，“小”与“波”。“小”－－具有快衰减性，在时间域上具有紧支集（compact）或近似紧支集；“波”－－具有波动性，其振幅正负相