轴对称球函数与Legendre多项式

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1、广义Fourier级数Hilbert空间轴对称球函数与Legendre多项式Legendre多项式的性质Legendre多项式的生成函数1连带Legendre函数连带Legendre方程为：作变换：代入方程并整理可得：可以证明，上述方程可以由Legendre方程逐项求导m次得到。2从而该方程的解是Legendre方程的解的m阶导数。这样，连带Legendre方程的解为：上述解被称为连带Legendre函数。连带Legendre方程和自然边界条件也构成本征值问题，本征值是l(l+1),l取非负整数。本征函数就是连带Legendre函数。3

2、下面是几个连带Legendre函数的例子：（P476，附录五）4连带Legendre函数的微分与积分表示5连带Legendre函数的模与正交关系根据关于Sturm-Livouville本征值问题的讨论，不同l的Legendre函数正交：（递推公式可参见P307页内容）6连带Legendre函数作为完备函数基连带Legendre函数构成一组完备的函数基，因而可以把定义在区间[-1，1]上的任意函数展开成为广义Fourier级数。7一般的球函数球函数方程：球函数（l称作球函数的阶）：复数形式的球函数：独立的l阶球函数有2l+1个。8球函数的

3、正交关系与模可以证明：对于复数形式：9球函数作为完备函数基利用球函数可以构造一组正交归一的完备函数基，定义在球面上的任意函数均可以用该基展开：10第十一章柱函数1112（m取整数）1314递推公式15Bessel函数的正交关系与模用Bessel函数展开16Bessel函数的母函数与积分表示母函数：积分表示：1718