《抽象函数专题分析》PPT课件

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1、1.满足解析式f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)的是正比例函数型抽象函数.2.满足解析式f(x1·x2)=f(x1)+f(x2)的是对数函数型抽象函数.3.满足解析式f(x1+x2)=f(x1)·f(x2)的指数函数型抽象函数.研究性学习“五步曲”课题:抽象函数数学复习教学中的1.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是()AA.奇函数B.偶函数C.既是奇函数,又是偶函数D.既不是奇函数,又不是偶函数2.函数f(x)满足f(x)·f(x+2)=13,若f(1)=2,则f

2、(99)=()A.13B.213C.22D.13C3.设奇函数f(x)满足:对∀x∈R有f(x+1)+f(x)=0,则f(5)=____.04.已知定义在R上的函数f(x)是偶函数,对x∈R都有f(2+x)=f(2-x),当f(-3)=-2时,f(2013)的值为_____.-25.已知函数f(x)的定义域为R+,并且对任意正数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),则(1)f(1)=____;012考点1 正比例函数型抽象函数例1:设函数f(x)对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),且x>0

3、时,f(x)<0,f(1)=-2.(1)求证:f(x)是奇函数;(2)试问在-3≤x≤3时,f(x)是否有最值?如果有求出最值;如果没有,说出理由.(1)证明:令x=y=0,则有f(0)=2f(0)⇒f(0)=0.令y=-x,则有f(0)=f(x)+f(-x).即f(-x)=-f(x).∴f(x)是奇函数.(2)解:任取x10⇒f(x2-x1)<0.且f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)=-f(x2-x1)>0.∴f(x1)>f(x2).∴y=f(x)在R上为减

4、函数.因此f(3)为函数的最小值,f(-3)为函数的最大值.f(3)=f(1)+f(2)=3f(1)=-6,f(-3)=-f(3)=6.∴函数最大值为6,最小值为-6.(1)正比例函数型抽象函数的一般步骤为f(0)=0⇒f(x)是奇函数⇒f(x-y)=f(x)-f(y)⇒单调性.(2)小技巧判断单调性:设x10⇒f(x2-x1)<0⇒f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)

5、(x)+f(y),则下列错误的是()D考点2 对数函数型抽象函数(1)求证:f(x)是偶函数;(2)求证:f(x)在(0,+∞)上是增函数;(3)解不等式f(2x2-1)<2.例2:已知函数f(x)的定义域为{x

6、x∈R,且x≠0},对定义域内的任意x1,x2,都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且当x>1时f(x)>0,f(2)=1.(1)证明:对定义域内的任意x1,x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),令x1=x,x2=-1,则有f(-x)=f(x)+f(-1).证明抽象函数的单调性通常

7、是用单调性的定义结合比较法(作差法、作商法),函数的单调性是比较大小的常用方法.运用不等式性质时应从结论出发,寻找解题的切入点.【互动探究】当f(x)=lgx时,上述结论中正确结论的序号是_____.②③考点3 指数函数型抽象函数例3:定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)·f(b).(1)求证:f(0)=1;(2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;(3)求证:f(x)是R上的增函数;(4)若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的

8、取值范围.(1)指数函数型抽象函数的一般步骤为f(0)=1⇒(4)由f(x)·f(2x-x2)>1,f(0)=1得f(3x-x2)>f(0).又f(x)是R上的增函数,∴3x-x2>0.∴0<x<3.(2)小技巧判断单调性:设x1>x2,x1-x2>0,则f(x1-x2)>1.f(x1)=f(x2+x1-x2)=f(x2)f(x1-x2)>f(x2),得到函数是增函数.【互动探究】3.设指数函数f(x)=ax(a>0且a≠1),则下列等式正确的有_________(填序号).①③④考点4一次函数模型:f(x+y)

9、=f(x)+f(y)例4:解:解法2:例5:解:例6若奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,又f(-3)=0,则{x

10、x•f(x)<0}等于A.{x

11、x>3或-3

12、0

13、x>3或x<-3}D.{x

14、0

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