医学高数3(极限的运算)

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1、第四节极限的运算一、无穷小量的运算二、极限运算法则三、两个重要极限一、无穷小量的运算（一）无穷小定义1-10在自变量的某中变化过程中，若函数y=f(x)的极限为零，则称函数f(x)为该变化过程中的无情小量，简称为无穷小(infinitesimal)。定义1-11如果对于任意给定的正数（不论它多么小），总存在正数（或正数X），使得对于适合不等式0<x-x0<（或x>X）的一切x，对应的函数值f(x)都满足不等式f(x)<则称函数f(x)是当xx0（或x∞）时的无穷小，记为（或）也可记为f(x)0（xx0）（或f(x)0（

2、x∞））例如∵∴当n∞时，是无穷小；∵∴当x0时，函数f(x)=x为无穷小；∵∴当x∞时，函数为无穷小。注意：不要把无穷小与很小的数（例如百万分子一）混为一谈。因为无穷小量是在自变量的某个变化过程中函数值趋近于0的函数，一般说来，它是一个变量。数0是可以作为无穷小的唯一的常数，因为它的极限就是它本身。定理1-1的充要条件是f(x)=A+，其中A为常数,是当xx0时的无穷小。证明充分性：因为，故对于任意给定的正数，存在正数，当0<x-x0<时，恒有f(x)-A<令=f(x)-A，则<，即是当xx0时的无穷小

3、，且f(x)=A+必要性：由于f(x)=A+，其中A是常数，是xx0时的无穷小，于是f(x)-A=此时是xx0时的无穷小，则对于任意给定的正数，存在正数，当0<x-x0<时，恒有<成立，即f(x)-A<从而（二）无穷大如果当xx0（或x∞）时，对应的函数值f(x)的绝对值f(x)无限增大，即可以大于事先给定的无论多么大的正数M，就说函数当xx0（或x∞）时为无穷大量，简称为无穷大。定义1-12如果对于任意给定的正数M（不论它多么大），总存在正数（或正数X），使得对于适合不等式0<x-x0

4、<（或x>X）的一切x，对应的函数值f(x)总满足不等式f(x)>M则称函数f(x)当xx0（或x∞）时为无穷大(infinity)。当xx0（或x∞）时为无穷大的函数f(x)，按极限的定义来说，极限是不存在的，但为了便于叙述，也借用极限符号，记为（或）例如：当时，正切函数tanx的绝对值tanx无限增大。记为如果，则称直线x=x0为曲线y=f(x)的一条铅直渐近线。注意：无穷大不是数，不可与很大的数（如一千万，一亿万）混为一谈。如果在无穷大定义中，对于x0附近的x（或x相当大的x），对应的函数值f(x)都是正的（或都是

5、负的），则称它为正无穷大（或负无穷大），记为（或）或者（或）定理1-2在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大，那么为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小，且f(x)≠0，那么为无穷大。例1-13讨论当x1时，函数的变化趋势。解：表1-3可见，也就是说当x1时x-1是无穷小，所以当x1时，是无穷大。直线x=1是双曲线的铅直渐近线。x0.90.990.9990.9999…1.00011.0011.011.1x-1-0.1-0.01-0.001-0.0001…0.00010.0010.010.1注意（1）无穷大是变量，不能与很大的数混淆；（2

6、）切勿将认为极限存在；（3）无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大。例如当x0时，是一个无界变量，因为当，k时y。但是当，k时y0。故不是无穷大。定理1-3有限个无穷小的代数和仍是无穷小。证明设与是同一变化过程中的两个无穷小，而=+。因为与是无穷小，对于任意给定的正数，存在正数，当0<x-x0<时，不等式</2、</2同时成立，于是=+≤+</2+/2=因此也是无穷小。有限个的情形也可以同样证明。定理1-4有界函数与无穷小的乘积是无穷小。推论1-

7、1常数与无穷小的乘积是无穷小。推论1-2有限个无穷小的乘积也是无穷小。例1-14求解当x0时，∞,的值在-1与+1之间来回变动，所以当x0时的极限不存在。但，所以是有界函数。因为，即当x0时，是有界函数与无穷小x的乘积，由定理1-4可知，（三）无穷小的比较表1-4当x充分接近于0时，x2要比x“更”接近于0，而2x则与x接近于0的程度“相仿”，或者说，在x0的过程中x20，比x0“快些”，2x0与x0“快慢相仿”，并且当x0时，x10.50.10.010.0010.00001…02x210.20.020.0020.00002…

8、0x210.250.010.00010.0000010.0000000001…0定义1-13设与是当xx0（或x