2.6微积分建立的时代背景和历史意义 (2)

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1、3.9微积分建立的时代背景和历史意义yyyy年M月d日星期微积分的概念微积分的萌芽微积分的发展微积分的建立微积分创立的现实意义牛顿与莱布尼茨数学史料微积分建立的时代背景和历史意义微积分学是微分学和积分学的总称。微积分是研究函数的微分、积分以及有关概念和应用的数学分支科学。微积分中的基本概念是函数、极限、实数、导数、积分等，其中极限是微积分的基石。研究函数，从量的方面研究事物运动变化是微积分的基本方法。这种方法叫做数学分析。微分学的主要内容包括：极限理论、导数、微分等。本来从广义上说，数学分析包括微积分、函数论等许多分支学科，但是现在一般已习惯于

2、把数学分析和微积分等同起来，数学分析成了微积分的同义词，一提数学分析就知道是指微积分。微积分的基本概念和内容包括微分学和积分学。积分学的主要内容包括：定积分、不定积分等。一、微积分的概念微积分的产生和发展被誉为“近代技术文明产生的关键事件之一，它引入了若干极其成功的、对以后许多数学的发展起决定性作用的思想。”恩格斯称之为“17世纪自然科学的三大发明之一。”微积分的建立，无论是对数学还是对其他科学以至于技术的发展都产生了巨大的影响，充分显示了数学对于人的认识发展、改造世界的能力的巨大促进作用。（1）中国数学家的极限、积分思想◆“割圆求周”（三国刘

3、徽）◆圆周率、球体积、球表面积的研究（祖冲之、祖暅）◆一尺之棰，日取其半，万世不竭（战国庄周）（2）外国数学家的极限、积分思想◆公元前三世纪，古希腊的阿基米德在研究解决抛物弓形的面积、球和球冠面积、螺线下面积和旋转双曲体的体积的问题中，就隐含着近代积分学的思想。◆欧几里得(公元前330年～前275年)是古希腊数学家，以其所著的《几何原本》闻名于世，其中对不可约量及面积与体积的研究，包含了穷竭法的萌芽。朴素、典型的极限概念二、微积分的萌芽十七世纪的许多著名的数学家、天文学家、物理学家都为解决问题作了大量的研究工作，如法国的费尔玛、笛卡儿、罗伯瓦、

4、笛沙格；英国的巴罗、瓦里士；德国的开普勒；意大利的卡瓦列利等人都提出许多很有建树的理论。为微积分的创立做出了贡献。到了十六世纪，有许多科学问题需要解决，由于航海、机械制造、军事上的需要，运动的研究成了自然科学的中心议题，于是在数学中开始研究各种变化过程中的量（变量）之间的依赖关系，变量的引进，形成了数学中的转折点。到了十七世纪，生产的发展提出了许多技术上的新要求，这些科学问题的解决，对数学提出了新的要求，也就成了促使微积分产生的因素。三、微积分的发展◆第一类是研究物体运动的时候直接出现的，也就是求即时速度的问题。◆第二类问题是求曲线的切线的问题

5、。◆第三类问题是求函数的最大值和最小值问题。◆第四类问题是求曲线长、曲线围成的面积、曲面围成的体积、物体的重心、一个体积相当大的物体作用于另一物体上的引力。十七世纪中叶其他科学提出的四种亟待解决的数学问题：天文学、力学等涉及许多非匀速运动，大多数也不是直线运动，传统的数学方法无能为力，要求新的数学工具。不仅是几何学的问题，而且也是许多其他科学问题的要求，如物体作曲线运动，光的折射和反射。天文学和力学都有关，例如求行星运动的近日点远日点，抛射体的最大射程和高度等。十七世纪下半叶，在前人工作的基础上，英国大科学家牛顿和德国数学家莱布尼茨分别在自己的

6、国度里独自研究和完成了微积分的创立工作，虽然这只是十分初步的工作。他们的最大功绩是把两个貌似毫不相关的问题联系在一起，一个是切线问题（微分学的中心问题），一个是求积问题(积分学的中心问题)。牛顿和莱布尼茨建立微积分的出发点是直观的无穷小量，因此这门学科早期也称为无穷小分析，这正是现在数学中分析学这一大分支名称的来源。牛顿研究微积分着重于从运动学来考虑，莱布尼茨却是侧重于几何学来考虑的。四、微积分的建立微积分学的创立，极大地推动了数学的发展，过去很多初等数学束手无策的问题，运用微积分，往往迎刃而解，显示出微积分学的非凡威力。一门科学的创立决不是某

7、一个人的业绩，他必定是经过多少人的努力后，在积累了大量成果的基础上，最后由某个人或几个人总结完成的。微积分也是这样。不幸的事，由于人们在欣赏微积分的宏伟功效之余，在提出谁是这门学科的创立者的时候，竟然引起了一场悍然大波，造成了欧洲大陆的数学家和英国数学家的长期对立。英国数学在一个时期里闭关锁国，囿于民族偏见，过于拘泥在牛顿的“流数术”中停步不前，因而数学发展整整落后了一百年。五、微积分创立的历史意义其实，牛顿和莱布尼茨分别是自己独立研究，在大体上相近的时间里先后完成的。比较特殊的是牛顿创立微积分要比莱布尼茨早10年左右，但是正式公开发表微积分这

8、一理论，莱布尼茨却要比牛顿发表早三年。他们的研究各有长处，也都各有短处。那时候，由于民族偏见，关于发明优先权的争论竟从1699年始延续了一百多年。应该