1.3算法案例课(3课时)

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1、（3课时）算法案例1、求两个正整数的最大公约数(短除法)（1）求25和35的最大公约数（2）求225和135的最大公约数2、求8251和6105的最大公约数25（1）55357所以，25和35的最大公约数为5所以，225和135的最大公约数为45辗转相除法（欧几里得算法）观察用辗转相除法求8251和6105的最大公约数的过程第一步用两数中较大的数除以较小的数，求得商和余数8251=6105×1+2146结论：8251和6105的公约数就是6105和2146的公约数，求8251和6105的最大公约数，只要求出6105和2146的公约数就可以了。第二步对6105和2146重复第一步的做法6

2、105=2146×2+1813同理6105和2146的最大公约数也是2146和1813的最大公约数。思考：从上述的过程你体会到了什么？完整的过程8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0例2用辗转相除法求225和135的最大公约数225=135×1+90135=90×1+4590=45×2显然37是148和37的最大公约数，也就是8251和6105的最大公约数显然45是90和45的最大公约数，也就是225和135的最大公约数思考1：从上面的两个例子可以看出计算的规

3、律是什么？S1：用大数除以小数S2：除数变成被除数，余数变成除数S3：重复S1，直到余数为0思考：你能把辗转相除法求任意两个正整数m,n(m>n)的最大公约数编成一个计算机程序吗？§1.3.1算法案例---辗转相除法和更相减损术写算法步骤：第一步，给定两个正整数m,n第二步，计算m除以n的余数为r第三步，m=n,n=r第四步，若r=0,则m,n的最大公约数等于m,否则，返回第二步。§1.3.1算法案例---辗转相除法和更相减损术辗转相除法是一个反复执行直到余数等于0停止的步骤，这实际上是一个循环结构。8251=6105×1+21466105=2146×2+18132146=1813×1

4、+3331813=333×5+148333=148×2+37148=37×4+0m=n×q＋r用程序框图表示出右边的过程r=mMODnm=nn=rr=0?是否INPUTm,nDOr=mmodnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEnd画程序框图关键：确定框图中所用到的结构确定循环结构：1，初始化条件：m,n2，确定循环体：m=n×q+rm=n,n=r3，设置循环控制条件：r=0循环结构的类型选择：直到型或当型§1.3.1算法案例---辗转相除法和更相减损术编制程序:直到型：INPUTm,nDOr=mMODnm=nn=rLOOPUNTILr=0PRINTmEND§1.3.1算

5、法案例---辗转相除法和更相减损术当型结构：INPUTm,nr=1WHILEr＞0r=mMODnm=nn=rWENDPRINTmEND只要r>0都可以§1.3.1算法案例---辗转相除法和更相减损术《九章算术》——更相减损术算理：可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少减多，更相减损，求其等也，以等数约之。第一步：任意给定两个正整数；判断他们是否都是偶数。若是，则用2约简；若不是，则执行第二步。第二步：以较大的数减较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以大数减小数。继续这个操作，直到所得的减数和差相等为止，则这个等数或这个等数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数。例3用更相减损

6、术求225与135的最大公约数解：由于两数不是偶数，把225和135以大数减小数，并辗转相减225－135＝90135－90＝4590－45＝45所以，225和135的最大公约数等于45INPUTa,bWHILEa<>bIFa>bTHENa=a-bELSEb=b-aENDIFWENDPRINTaEND《九章算术》——更相减损术的算法程序语句：练习：用辗转相除法求294与84的最大公约数，再用更相减损术验证。思考：求三个数：168，54，264的最大公约数。算法案例（第二课时）计算多项式ｆ（ｘ）=ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１当x=5的值算法1：ｆ（ｘ）=ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１

7、=x×x×x×x×x＋x×x×x×x＋x×x×x＋x×x＋x＋1所以ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=3125＋625＋125＋25＋5＋１=3906算法2：ｆ（5）=5５＋5４＋5３＋5２＋5＋１=（（（（5＋１）×5＋１）×5＋１）×5＋１）×5＋１分析：两种算法中各用了几次乘法运算？和几次加法运算？ｆ（ｘ）=ｘ５＋ｘ４＋ｘ３＋ｘ２＋ｘ＋１=((((x+1)x+1)x+1)x+1)x+1[问题1]设计求多项式f(x)=2x5-5x4