数学人教a版必修3一章1.3算法案例(第1课时)

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1、第一课时　辗转相除法与更相减损术、秦九韶算法1．理解辗转相除法与更相减损术的含义，了解其执行过程，并会求最大公约数．2．掌握秦九韶算法的计算过程，了解它提高计算效率的实质，并会求多项式的值．3．进一步体会算法的基本思想．1．辗转相除法与更相减损术(1)辗转相除法．①算法步骤：第一步，给定两个正整数m，n.第二步，计算m除以n所得的余数r.第三步，m＝n，n＝r.第四步，若r＝__，则m，n的最大公约数等于m；否则返回第__步．②程序框图如图所示．③程序：INPUT　m，nDO　r＝mMODn　m＝n　n＝rLOOPUNTIL

2、　____PRINT　__END(2)更相减损术．[来源:Z。xx。k.Com]算法分析：第一步，任意给定两个正整数，判断它们是否都是____．若是，用__约简；若不是，执行第二步．第二步，以较大的数__去较小的数，接着把所得的差与较小的数比较，并以__数减__数．继续这个操作，直到所得的差与减数相等为止，则这个数(等数)或这个数与约简的数的乘积就是所求的最大公约数．【做一做1】用更相减损术求294和84的最大公约数时，第一步是__________．2．秦九韶算法(1)概念：求多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋

3、a1x＋a0的值时，常用秦九韶算法，这种算法的运算次数较少，是多项式求值比较先进的算法，其实质是转化为求n个____多项式的值，共进行__次乘法运算和__次加法运算．其过程是：改写多项式为：f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(anxn－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0＝…＝(…((anx＋an－1)x＋an－2)x＋…＋a1)x＋a0.设v1＝__________，v2＝v1x＋an－2，v3＝v2x＋an－3，…，vn＝____

4、________.(2)算法步骤：第一步，输入多项式的次数n、最高次项的系数an和x的值．第二步，将v的值初始化为an，将i的值初始化为n－1.第三步，输入i次项的系数ai.第四步，v＝vx＋ai，i＝____.第五步，判断i是否大于或等于__．若是，则返回第三步；否则，输出多项式的值__．(3)程序框图如图所示．(4)程序：INPUT　“n＝”；nINPUT　“an＝”；aINPUT　“x＝”；xv＝ai＝n－1[来源:学科网ZXXK]WHILE　______　PRINT　“i＝”；i　INPUT　“ai＝”；a　v＝__

5、______　i＝i－1WENDPRINT　__END【做一做2】设计程序框图，用秦九韶算法求多项式的值，所选用的结构是(　　)A．顺序结构B．条件结构C．循环结构D．以上都有答案：1．(1)①0　二　③r＝0　m　(2)偶数　2　减　大　小　【做一做1】用2约简　由于294和84都是偶数，先用2约简．2．(1)一次　n　n　anx＋an－1　vn－1x＋a0　(2)i－1　0　v　(4)i＞＝0　vx＋a　v【做一做2】D1．更相减损术与辗转相除法的区别与联系剖析：如表所示．辗转相除法更相减损术区别[来源:学科网ZXXK

6、]①以除法为主．②两个整数差值较大时运算次数较少．③相除余数为零时得结果.①以减法为主．②两个整数的差值较大时，运算次数较多．③相减，差与减数相等得结果．④相减前要做是否都是偶数的判断.联系①都是求最大公约数的方法．②二者的实质都是递归的过程．③二者都要用循环结构来实现.2．秦九韶算法是比较先进的算法剖析：计算机的最重要特点就是运算速度快.2003年2月26日，以色列科学家宣布研制出一台依靠DNA运行、速度达每秒运算330万亿次的生物计算机．这种计算机的运算速度比现在普通计算机的运算速度要快10万倍，但是即便如此，计算机也不

7、是万能的．同一个问题有多种算法，如果某个算法比其他算法的步骤少，运算的次数少，那么这个算法就是比较先进的算法．算法好坏的一个重要标志就是运算的次数越少越好．求多项式f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0的值时，通常是先计算anxn，进行n次乘法运算；再计算an－1xn－1，进行n－1次乘法运算；这样继续下去共进行n＋n－1＋…＋2＋1＝(其计算方法以后学习)次乘法运算，还需要进行n次加法运算，总共进行＋n次运算．但是用秦九韶算法时，改写多项式为f(x)＝anxn＋an－1xn－1＋…＋a1x＋a0＝(anxn

8、－1＋an－1xn－2＋…＋a1)x＋a0[来源:学科网]＝((anxn－2＋an－1xn－3＋…＋a2)x＋a1)x＋a0…＝(…((anx＋an－1)x＋…＋a2)x＋a1)x＋a0.先计算v1＝anx＋an－1，需1次乘法运算，1次加法运算；v2＝v1x＋an－2，需1次乘法运算，1