量子力学导论Chap9-3new

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1、1、两个角动量的对易式独自的对易式两个角动量之和及对易式2、耦合表象和非耦合表象非耦合表象耦合表象3、Clebsch-Gordan系数4、计算CG系数的一般原则§9.3两个角动量的耦合与Clebsch-Gordan系数1、两个角动量的对易式各角动量独自的对易式和相互对易式假设是两个粒子，角动量分别为j1和j2j1和j2对各自态矢运算，两个自由度，相互独立2)两个角动量之和及对易式两个角动量之和和的对易式2、耦合表象和非耦合表象1)非耦合表象对于两粒子体系，任何与角动量有关的态就可用态进行展开两粒子体系的力学量完全集两粒子体系对

2、应共同本征态将该态视为基矢，这种表象为非耦合表象给定j1和j2时，它们张开成(2j1+1)(2j2+1)维子空间。2)耦合表象由于所以在给定的j1和j2的子空间中共同本征态(基矢)以此为基矢的表象为耦合表象各力学量的本征值3、Clebsch-Gordan系数非耦合表象与耦合表象的关系简记为将耦合表象基矢用非耦合表象基矢展开展开系数就是Clebsch-Gordan(CG)系数也就是耦合表象和非耦合表象之间的幺正变换矩阵元2)CG系数的计算a)求出m1和m2的关系用jz=j1z+j2z左右算符对

3、jm>展开式左右项分别进行作用，即

4、得显然，不全为零，这样必然要求：可见，m1和m2两个只有一个是独立的，改写展开式为可见，只有当m=m1+m2时，系数不全为零b)根据

5、jm>和

6、j1j2m1m2>的正交归一性定出系数任何一个波函数都有一个相位不确定性，基矢波函数也不例外。如果合适选取相位，可以使CG系数都为实数。根据

7、jm>的正交归一性当m=m利用CG系数都为实数，

8、jm>的逆展开式，即用展开实数根据

9、j1j2m1m2>的正交归一性，当m2=m23)j的取值问题三角形法则给定j1和j2，试问j取哪些值？a)m1和m2以及m的取值b)j的取值jmin可从子

10、空间维度分析得出m(=m1+m2)可能取值如下可见，j依次递减1，但还要确保jmin0对于给定的j1和j2，在非耦合表象中子空间的维度就是(2j1+1)(2j2+1)。变换到耦合表象，子空间维度不会改变，也应是(2j1+1)(2j2+1)在耦合表象中，对于一个j，m有2j+1个取值。j改变，m也变，m所有的取值就是维度由于维度不变，可以有下列式子成立讨论：(1)如果j1j2,则jmin=j1-j2；(2)如果j2j1,则jmin=j2-j1。总之，jmin=

11、j1-j2

12、j的取值为概括为三角形法则两边之和大于等于第三边j

13、max=j1+j2两边之差小于等于第三边jmin=

14、j1-j2

15、jj1j24、计算CG系数的一般原则j相同，m不同的态可以通过角动量升降算符联系起来m相同，j不同的态的正交性下面计算CG系数j=jmax=j1+j2情形m=j1+j2的波函数只能来自m1=j1和m2=j2，即习惯上取=0，即CG系数再考虑m=j1+j2-1的波函数用j-=j1-+j2-对上式作用，利用升降算符公式，得

16、

17、jm>注解即即重复这样的过程，就可求出j=j1+j2的所有波函数b)j=jmax-1=j1+j2-1情形根据正交性和适当相位

18、规定，可得m=j1+j2-1的波函数这种相位规定就是Condon-Shortley相位约定，即这样，便可用j-=j1-+j2-对m=j1+j2-1的波函数两边逐次运算，便可得出j=j1+j2-1的所有波函数和相应的系数。c)再将j逐次减一，循环运算，可得到所有的CG系数