地震层析成像中LSQR算法的快速求解

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1、第33卷第6期物探化探计算技术2011年11月文章编号：1o01一l749(2011)O6—0632—04地震层析成像中LSQR算法的快速求解张东，乔友峰，姜麟舜，杨艳，秦前清，徐凌2(1．武汉大学，湖北武汉430072；2．中国石油勘探开发研究院物探所，j匕京100082)摘要：针对传统LSQR反演算法计算时间长、占用内存大的不足，这里提出了一种LSQR的快速算法，通过线性三元组存储稀疏矩阵，实现相应的矩阵运算，使LSQR算法的运算速度及内存占用都有较大地改善。关键词：LSQR；地震层析成像；反演；稀疏矩阵中图分类号：P631．4文献标识码：A程

2、化为系数矩阵为方阵的方程，然后利用Lanczos0前言方法，求解方程的最／J~-乘解。LSQR算法是一种迭代算法，具有计算量小的优点，并且能很容易地层析成像的迭代算法主要有：反投影技术利用矩阵的稀疏性简化计算，适合求解大型稀疏问BPT、代数重建技术ART、联合迭代重建技术题。对于方程组Ax=b的求解，LSQR算法的迭代SIRT、共轭梯度法CG、最小平方正交分解法LSQR过程及具体的推导过程见参考文献[4]。等l-】。】。BPT算法计算简单、快速，但分辨率低，ART和SIRT算法速度快，但有时不收敛。2LSQR算法的特点分析LSQR-3算法是目前常用

3、的方法，与其它迭代方法相比，其在解奇异或病态问题时显示出更快的收2．1反演方程的系数矩阵敛性及更好的结果。但LSQR算法占用计算机内对于反演方程组Ax=b，其中A为系数矩阵，存较大，计算成本高，尤其是应用于三维地震层析它的元素由每一条射线在每个网格中的长度构成。成像中时，对内存的需求以及计算成本将会更高。b为走时参数，它的每个元素对应一条射线在初始如果对LSQR算法的求解进行一定的改进，使算法模型中的走时和在理论模型中走时的差。通过研在内存占用上降低，同时提高运算速度，那么，究发现，由于每一条射线只能经过某一部份网格，LSQR算法将会更好地应用于三

4、维地震层析成像。因此系数矩阵A是稀疏的。作者在本文针对LSQR存在的不足，提出了一表1(见下页)给出了算例模型矩阵A的元素种快速的求解方法，使用线性三元组存储稀疏矩阵统计，通过观察表1可以发现，当最大炮检距越来来实现矩阵运算，由于只涉及到非零元素，所以占越大时，非零元素的比例趋于减小的趋势，而且这用存贮空间少，运算速度快，特别适于求解系数为一比例都在l％以内。由此可见，系数矩阵是极其大型稀疏矩阵的方程组。稀疏的。2．2反演方程的求解1LSQR算法原理LSQR算法虽然是一种适合于大型稀疏矩阵方程求解的算法，但经过实验我们发现，现有的LSQR算法的思路

5、是首先把任意稀疏矩阵方LSQR算法，还是存在存储空间占用大，运算效率收稿日期：2011—05—25改回日期：2011一O8—306期张东等：地震层析成像中I_SQR算法的快速求解633不高的问题。例如MATLAB中的LSQR函数]，该函数的原型为LSQR(A，B，TOL，MAXIT，X0)，其中A为系数矩阵，B为走时残差向量，TOL为容差，用来表示算法的精度，MAX1T为最大迭代次数，当算法迭代次数到达MAXIT时，即使TOL满意达到要求，迭代也会终止。XO为初始解向量。如果用MATLAB中的LSQR函数实现算法，则我们存储的99％以上的元素都是0

6、，而且在计算的过程[f、詈0011喜0170量0]中，有99．5％以上的矩阵运算时在与0值相乘。这就造成了大量内存的浪费，同时也限制了求解方程的速度。表1系数矩阵A中非零元素所占比例情况Tab．1Thepercentagesofnon—zeroelementsinparametermatrixA最大炮矩阵A非零元非零元检距总元素素个数素比例另外，把稀疏矩阵的行数、列数和非零元素个15003515×70791911440．0076818数，定义成三元组顺序表的控制数据结构体：250O6016×184306653120．006Oo06typedefst

7、ruct35008510×3341014423850．o05O731{intmd；／／行数45O010997×4048724861330．0055839intnd；／／列数60oO14727×6040342139570．OO47372inttd；／／非零元素个数}TriType；这样，图1(a)所示的稀疏矩阵的三元组线性3LSQR算法的快速求解表的存储结构就对应为图2所示的稀疏矩阵的三元组线性表。_呈-昌m由于在矩阵方程Ax=b中，系数矩阵A是一jvalue个稀疏矩阵，因此对LSQR算法的求解改进的内容1311包括两个方面：①将系数矩阵A压缩存储；

8、②用稀l5l7田疏矩阵算法实现矩阵相乘，使算法速度得到提高。22253．1稀疏矩阵的压缩存储4119由于稀疏矩阵的零元素非