《卡尔曼滤波教学》PPT课件

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1、第六章　卡尔曼滤波（TheKalmanfiltering）第一节　卡尔曼滤波信号模型第二节卡尔曼滤波方法第三节卡尔曼滤波的应用６.１信号模型６.１.１状态方程和量测方程维纳滤波的模型：信号　　可以认为是由白噪声　　激励一个线性系统　　的响应，假设响应和激励的时域关系可以用下式表示：(6-52)上式也就是一阶AR模型。在卡尔曼滤波中信号　　被称为是状态变量，用矢量的形式表示为　　，激励信号　　也用矢量表示为　　，激励和响应之间的关系用传递矩阵　　来表示，得出状态方程：(6-53)上式表示的含义就是在k时刻的状态　　可以由它

2、的前一个时刻的状态　　　来求得，即认为k－1时刻以前的各状态都已记忆在状态　　　中了卡尔曼滤波是根据系统的量测数据（即观测数据）对系统的运动进行估计的，所以除了状态方程之外，还需要量测方程。在卡尔曼滤波中，用表示量测到的信号矢量序列，表示量测时引入的误差矢量，则量测矢量与状态矢量之间的关系可以写成(6-54)上式和维纳滤波的概念上是一致的，也就是说卡尔曼滤波的一维信号模型和维纳滤波的信号模型是一致的。把式(6-55)推广就得到更普遍的多维量测方程(6-55)上式中的称为量测矩阵，它的引入原因是，量测矢量的维数不一定与状态矢量

3、的维数相同，因为我们不一定能观测到所有需要的状态参数。６.１.２信号模型根据状态方程　　　　　　　　　　　和量测方程　　　　　　　　　　，卡尔曼滤波的信号模型，如图6.12所示。图6.12卡尔曼滤波的信号模型【例6-1】设卡尔曼滤波中量测方程为，已知信号的自相关函数的z变换为噪声的自相关函数为　　　　　　，信号和噪声统计独立。求卡尔曼滤波信号模型中的　　和　　。解：根据等式可以求得变换到时域得：因此又因为　　　　　　　，所以　　＝1。６.２卡尔曼滤波方法（ThemethodofKalmanfiltering）６.２.１卡尔曼

4、滤波的一步递推法模型把状态方程和量测方程重新给出：(6-56)(6-57)假设信号的上一个估计值　　　已知，现在的问题就是如何来求当前时刻的估计值　　。用上两式得到的和分别用和表示，得：(6-58)(6-59)必然，观测值　　和估计值　　之间有误差，它们之间的差　　称为新息（innovation）：(6-60)显然，新息的产生是由于我们前面忽略了　　与　　所引起的用新息　　乘以一个修正矩阵　　，用它来代替式（6－56）的　　来对　　进行估计：(6-61)由（6－56）～（6－61）可以画出卡尔曼滤波对　　进行估计的递推模型，

5、如图6.13所示输入为观测值　　，输出为信号估计值　　。图6.13卡尔曼滤波的一步递推法模型６.２.２卡尔曼滤波的递推公式从图6.13容易看出，要估计出　　就必须要先找到最小均方误差下的修正矩阵，结合式（6－61）、（6－56）、（6－57）得：(6-62)根据上式来求最小均方误差下的　　，然后把求到的　　代入（6－61）则可以得到估计值　　。设真值和估计值之间的误差为：误差是个矢量，因而均方误差是一个矩阵，用　　表示。把式（6－62）代入得(6-63)均方误差矩阵：(6-64)表示对向量取共轭转置。为了计算方便，令(6-6

6、5)找到和均方误差矩阵的关系：(6-66)把式（6－63）代入式（6－64），最后化简得：把式（6－66）代入（6－67）得令　　　　　　　　　　，代入上式化简：(6-68)要使得均方误差最小，则必须求得最小均方误差下的修正矩阵为：(6-69)把上式代入(6-61)即可得均方误差最小条件下的　　递推公式。最小均方误差为：(6-70)综上所述，得到卡尔曼滤波的一步递推公式：(6-71)(6-72)(6-73)(6-74)【例6-2】设卡尔曼滤波中量测方程为已知信号的自相关函数的z变换为　　　　　　　　　　　，噪声的自相关函数为

7、　　　　　，信号和噪声统计独立，已知　　　　　　在k＝0时刻开始观测信号。试用卡尔曼滤波的公式求　　和　　，k＝0,1,2,3,4,5,6,7；以及稳态时的　　和　　。解：由例6-6的结果知，把上式代入式(6-71)～(6-74)得（1）（2）（3）（4）求逆把（1）代入（2）、（3）式，消去　　，再把（2）和（3）联立，得到（5）初始条件为　　　　　　　　　，k＝0开始观测，利用等式（4），（5）进行递推得：k＝0，1.0000，1.0000，k＝1，0.5000，0.5000，k＝2，0.4048，0.4048，k＝3，

8、0.3824，0.3824，k＝4，0.3768，0.3768，k＝5，0.3755，0.3755，k＝6，0.3751，0.3751，k＝7，0.3750，0.3750，上面是递推过程，还没有达到稳态的情况。假设到了某一时刻k－1，前后时刻的均方误差相等，也就是误差不再随着递推增加而下降