《数学建模讲座》PPT课件

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1、2015年数学建模讲座微分方程模型讨论：基本思想、方法与数值模拟分析贺天兰微分方程=自然定律常微分方程：联系着自变量、未知函数、及未知函数的某些导数之间的关系式总是与变化率相联系：如速度、加速度、曲率、增长率、出生率、死亡率等本讲座分两个部分模型举例模型求解的基本理论一、模型举例体重变化模型(一阶线性常微分方程)减肥计划模型（差分方程）国家综合实力模型（一阶二维非线性微分方程组）模型一、体重变化模型某人食量10467J/Day,假设其中5038J/Day因新陈代谢而自动消耗，其它活动，如健身等所消耗的热量是

2、69J/(kg.Day)与他体重的乘积。假设与脂肪形式存储的热量100%有效，且1kg脂肪含热量41868J.试研究此人体重随时间变化的规律。1、问题分析：问题涉及的原则、理论或方法做适当分析要研究此人体重随时间变化的规律，就是要找出体重随时间变化的函数关系式。注意各变量与它们的微小增量之间的关系。2、问题假设：提出有利条件，对实际问题做理想化近似(1)设t时刻某人的体重为W(t)，一天开始时此人的体重为W(0);(2)W(t)是t的光滑函数；(3)体重在某时间段内的变化等于输入与输出之差，其中，其中输入是

3、指扣除基本新陈代谢之后的净食量吸收，输出是指如健身时的消耗；(4)只考虑一天的情况，且不会出现异常现象。3.模型建立:实际问题---数学语言:函数方程方程组等此人每天的体重变化=输入-输出输入热量=10467-5038=5429J输出热量=69×W=69WJ4、模型求解对数学翻译进行求解，既避免了对原问题的直接处理，又利用了现有的数学知识。体重变化曲线ClearW0=60;t=0:3000;W=5429/69-(5429-69*w0)/69*exp(-23*t/12956);Plot(t,w,’r’),

4、grid,legend(‘体重变化曲线’)；5、结果结论：将数学结果返回到实际中做相应的解释给出明确可信的结论！6、敏感性分析：讨论参数的变化对结果的影响讨论：增加或减少热量的摄入，体重将如何变化？增加或减少健身活动，体重又将如何变化？那个参数的变化对体重比较敏感？定性分析模型二、减肥计划-节食与运动背景多数减肥食品达不到减肥目标，或不能维持通过控制饮食和适当的运动，在不伤害身体的前提下，达到减轻体重并维持下去的目标分析体重变化由体内能量守恒破坏引起饮食（吸收热量）引起体重增加代谢和运动（消耗热量）引起体重

5、减少体重指数BMI=w(kg)/l2(m2).18.525~超重;BMI>30~肥胖.模型假设1）体重增加正比于吸收的热量——每8000千卡增加体重1千克；2）代谢引起的体重减少正比于体重——每周每公斤体重消耗200千卡~320千卡(因人而异),相当于70千克的人每天消耗2000千卡~3200千卡；3）运动引起的体重减少正比于体重，且与运动形式有关；4）为了安全与健康，每周体重减少不宜超过1.5千克，每周吸收热量不要小于10000千卡。某甲体重100千克，目前每周吸收20000

6、千卡热量，体重维持不变。现欲减肥至75千克。第一阶段：每周减肥1千克，每周吸收热量逐渐减少，直至达到下限（10000千卡）；第二阶段：每周吸收热量保持下限，减肥达到目标2）若要加快进程，第二阶段增加运动，试安排计划。1）在不运动的情况下安排一个两阶段计划。减肥计划3）给出达到目标后维持体重的方案。确定某甲的代谢消耗系数即每周每千克体重消耗20000/100=200千卡基本模型w(k)~第k周(末)体重c(k)~第k周吸收热量~代谢消耗系数(因人而异)1）不运动情况的两阶段减肥计划每周吸收20000千卡w=1

7、00千克不变第一阶段:w(k)每周减1千克,c(k)减至下限10000千卡第一阶段10周,每周减1千克，第10周末体重90千克吸收热量为1）不运动情况的两阶段减肥计划第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克1）不运动情况的两阶段减肥计划基本模型第二阶段：每周c(k)保持Cm,w(k)减至75千克第二阶段19周,每周吸收热量保持10000千卡,体重按减少至75千克。运动t=24(每周跳舞8小时或自行车10小时),14周即可。2）第二阶段增加运动的减肥计划根据资料每小时每千克体重消耗的热量(千卡

8、):跑步跳舞乒乓自行车(中速)游泳(50米/分)7.03.04.42.57.9t~每周运动时间(小时)基本模型3）达到目标体重75千克后维持不变的方案每周吸收热量c(k)保持某常数C，使体重w不变不运动运动(内容同前)模型三综合实力的微分方程模型讨论一个地区物质文明和精神文明的综合称为综合实力物质文明的发展速度与现有水平及发展潜力之积成正比，还与精神文明的水平成比例，精神文明的发展速度与现有水平成比例，且与现有的