《解三角形》常见题型总结

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1、-《解三角形》常见题型总结1.1正弦定理和余弦定理1.1.1正弦定理【典型题剖析】考察点1：利用正弦定理解三角形例1在ABC中，已知A:B:C=1:2:3,求a:b:c.【点拨】本题考查利用正弦定理实现三角形中边与角的互化，利用三角形内角和定理及正弦定理的变形形式a:b:c=sinA:sinB:sinC求解。A:B:C1:2:3,而ABC.解：A,B,C,632a:b:sinA:sinB:sinCsin:sin:sin13::11:3:2.63222【解题策略】要牢记正弦定理极其变形形式，要做到灵活应用。例2在ABC中，

2、已知c=2+6，C=30°，求a+b的取值范围。【点拨】此题可先运用正弦定理将a+b表示为某个角的三角函数，然后再求解。解：∵C=30°，c=2+6，∴由正弦定理得：abc26,sinAsinBsinCsin30∴a=2(2+6)sinA,b=2(2+6)sinB=2(2+6)sin（150°-A）.∴a+b=2(2+6)[sinA+sin(150°-A)]=2(2+6)·2sin75°·cos(75°-A)=226cos(75°-A)22=8+43；①当75°-A=0°，即A=75°时，a+b取得最大值6②∵A=180

3、°-(C+B)=150°-B,∴A＜150°，∴0°＜A＜150°,∴-75°＜75°-A＜75°，∴cos75°＜cos(75°-A)≤1，2262=2+6.∴＞26cos75°=26×4综合①②可得a+b的取值范围为(2+6,8+43>--考察点2：利用正弦定理判断三角形形状例3在△ABC中，a2·tanB=b2·tanA，判断三角形ABC的形状。【点拨】通过正弦定理把边的关系转化为角的关系，利用角的关系判断△ABC的形状。解：由正弦定理变式a=2RsinA,b=2RsinB得：--2sinB22RsinA2Rsin

4、BcosBsinAcosAsinBcosB,即sin2Asin2B，2A2B或sinA,cosA2A2B，--AB或AB.2∴ABC为等腰三角形或直角三角形。【解题策略】“在△ABC中，由sin2Asin2B得∠A=∠B”是常犯的错误，应认真体会上述--解答过程中“∠A=∠B或∠A+∠B=”的导出过程。2例4在△ABC中，如果lgalgclgsinBlg2，并且B为锐角，试判断此三角形的形状。【点拨】通过正弦定理把边的形式转化为角的形式，利用两角差的正弦公式来判断△ABC的形状。解：lgsinBlg2,sinB2

5、.2又∵B为锐角，∴B=45°.由lgalgclg2,得c2.a2sinA2,由正弦定理，得2sinC∵A18045C,代入上式得：2sinC2sin135C2sin135cosCcos135sinC2cosC2sinC,cosC0,C90,A45.ABC为等腰直角三角形。--考察点3：利用正弦定理证明三角恒等式a2b2b2c2c2a2例5在△ABC中，求证cosBcosBcosCcosC0.cosAcosA【点拨】观察等式的特点，有边有角要把边角统一，为此利用正弦定理将a2，b2，c2转化为sin2A,sin2B,si

6、n2C.--证明：由正弦定理的变式a2RsinA,b2RsinB得：a2b24R2sin2A4R2sin2BcosA=cosAcosBcosB4R2（1-cos2A）-(1-2B)[cos]cosAcosB(cos2Bcos2A)4R2(cosBcosA)cosAcosBb2c24R2(cosCcosB),同理cosBcosCc2a22cosC).cosCcosA4R(cosA左边=4R2(cosBcosAcosCcosBcosAcosC)0右边等式成立。【解题策略】在三角形中，解决含边角关系的问题时，常运用正弦定理进行

7、边角互化，然后利用三角知识去解决，要注意体会其中的转化与化归思想的应用。例6在△ABC中，a,b,c分别是角A,B,C的对边，C=2B，求证c2b2ab.【点拨】本题考查正弦定理与倍角公式的综合应用.证明：ABC180,BC180A.又C2B,CBB.sin(BC)sin(180A)sinA,c2b24R2(sin2Csin2B)4R2(sinsinB)(sinsinB)--CC4R22sinBCcosCB2cosBCsinCB22224R2sin(CB)sin(CB)4R2sinAsinBab右边.等式成立.【解题策略

8、】有关三角形的证明题中，要充分利用三角形本身所具有的性质。（1）ABC,ABABCC,2,2A2B22C.22(2)sin(AB)sinC,cos(AB)cosC,tan(AB)tanC.--(3)sinABcosC,cosABsinC,tanAB22222Ccot.2(4)sin(2A2B)sin2C,cos(2A