解三角形常见题型

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1、解三角形常见题型正弦定理和余弦定理是解斜三角形和判定三角形类型的重要工具，其主要作用是将已知条件中的边、角关系转化为角的关系或边的关系。题型之一：求解斜三角形中的基本元素指已知两边一角(或二角一边或三边)，求其它三个元素问题，进而求出三角形的三线(高线、角平分线、中线)及周长等基本问题．1.在中，AB=3，AC=2，BC=，则()A．B．C．D．【答案】D2．（1）在中，已知，，cm，解三角形；（2）在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精确到，边长精确到1cm）。3．（1）在ABC中，已知，，，求b及A；（2）在ABC中，已知，，，解三角形4(2005年全国高考江苏卷)中，，

2、BC＝3，则的周长为（）A．B．C．D．分析：由正弦定理，求出b及c，或整体求出b＋c，则周长为3＋b＋c而得到结果．选(D)．5（2005年全国高考湖北卷)在ΔABC中，已知，AC边上的中线BD=，求sinA的值．分析：本题关键是利用余弦定理，求出AC及BC，再由正弦定理，即得sinA．解：设E为BC的中点，连接DE，则DE//AB，且，设BE＝x在ΔBDE中利用余弦定理可得：，，解得，（舍去）故BC=2，从而，即又，故，在△ABC中，已知a＝2，b＝，C＝15°，求A。答案：题型之二：判断三角形的形状：给出三角形中的三角关系式，判断此三角形的形状．1.(2005年北京春季高

3、考题)在中，已知，那么一定是（）A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．正三角形解法1：由＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB，即sinAcosB－cosAsinB＝0，得sin(A－B)＝0，得A＝B．故选(B)．解法2：由题意，得cosB＝，再由余弦定理，得cosB＝．∴＝，即a2＝b2，得a＝b，故选(B)．评注：判断三角形形状，通常用两种典型方法：⑴统一化为角，再判断(如解法1)，⑵统一化为边，再判断(如解法2)．2．在△ABC中，若2cosBsinA＝sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边

4、三角形答案：C解析：2sinAcosB＝sin（A＋B）＋sin（A－B）又∵2sinAcosB＝sinC，∴sin（A－B）＝0，∴A＝B3.在△ABC中，若，试判断△ABC的形状。答案：故△ABC为等腰三角形或直角三角形。4.在△ABC中，，判断△ABC的形状。答案：△ABC为等腰三角形或直角三角形。题型之三：解决与面积有关问题主要是利用正、余弦定理，并结合三角形的面积公式来解题．1.(2005年全国高考上海卷)在中，若，，，则的面积S＝_________2．在中，，，，求的值和的面积。答案：3.（07浙江理18）已知的周长为，且．（I）求边的长；（II）若的面积为，求角的

5、度数．解：（I）由题意及正弦定理，得，，两式相减，得．（II）由的面积，得，由余弦定理，得，所以．题型之四：三角形中求值问题1.(2005年全国高考天津卷)在中，所对的边长分别为，设满足条件和，求和的值．分析：本题给出一些条件式的求值问题，关键还是运用正、余弦定理．解：由余弦定理，因此，在△ABC中，∠C=180°－∠A－∠B=120°－∠B.由已知条件，应用正弦定理解得从而2．的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值。解析：由A+B+C=π，得=－，所以有cos=sin。cosA+2cos=cosA+2sin=1－2sin2+2sin=－2(sin－)2+；

6、当sin=，即A=时,cosA+2cos取得最大值为。3．在锐角中，角所对的边分别为，已知，（1）求的值；（2）若，，求的值。解析：（1）因为锐角△ABC中，A＋B＋C＝p，，所以cosA＝，则（2），则bc＝3。将a＝2，cosA＝，c＝代入余弦定理：中，得解得b＝。点评：知道三角形边外的元素如中线长、面积、周长等时，灵活逆用公式求得结果即可。4．在中，内角对边的边长分别是，已知，．（Ⅰ）若的面积等于，求；（Ⅱ）若，求的面积．本小题主要考查三角形的边角关系，三角函数公式等基础知识，考查综合应用三角函数有关知识的能力．满分12分．解：（Ⅰ）由余弦定理及已知条件得，，又因为的面积

7、等于，所以，得．4分联立方程组解得，．6分（Ⅱ）由题意得，即，8分当时，，，，，当时，得，由正弦定理得，联立方程组解得，．所以的面积．12分题型之五：正余弦定理解三角形的实际应用利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识，例析如下：图1ABCD（一.）测量问题1.如图1所示，为了测河的宽度，在一岸边选定A、B两点，望对岸标记物C，测得∠CAB=30°，∠CBA=75°，AB=120cm，求河的宽度。分析：求河的宽度，就是求△ABC在A